2005-全国卷I文-13 填-对数估算定整数

本题导读

本题考查对数运算与指数、对数之间的互化。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 若正整数 $m$ 满足 $10^{m-1}<2^{512}<10^m$，则 $m=$　　　　（$\lg 2\approx 0.3010$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 $10^{m-1}<2^{512}<10^m$ 两边取常用对数：$m-1<512\lg 2<m$。
2. $512\lg 2=512\times 0.3010=154.112$。
3. 故 $m-1<154.112<m$，即 $m-1=154$，$m=155$。

✅【答案】

Success

$155$

✍【详细解析】

Abstract

对 $10^{m-1}<2^{512}<10^m$ 两边取常用对数（底 $10>1$，不等号方向不变）： $m-1<512\lg 2<m$． $512\lg 2=512\times 0.3010=154.112$． 故 $m-1<154.112<m$，由 $m$ 为正整数得 $m-1=154$，$m=155$． （即 $2^{512}$ 是 $155$ 位数．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数估算定整数

核心方法：$\lg 2^{512}=512\times 0.3010=154.112$，故 $10^{154}<2^{512}<10^{155}$，$m=155$

避坑指南：指数式两边取常用对数比较；$10^{m-1}<N<10^m$ 中 $m$ 是”位数”，由整数部分 $154$ 加 $1$ 得 $155$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于对数的估算应用，教材”对数函数”中换底与近似计算

结论推广：一般化：判断 $a^n$ 的位数，即求满足 $10^{m-1}<a^n<10^m$ 的整数 $m$，两边取对数即可

方法推广：指数比大小取常用对数，利用已知近似值估算到小数一位即可定出整数 $m$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2008-江西文-04 单-指对数单调性比较
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