2005-上海卷理-21 解-新定义函数与分段函数

本题导读

本题是一道集新定义运算、集合交补、分段函数值域及三角函数构造于一体的综合题。前两问通过对定义域的交补集划分，考查解析式化简与分段求值域；第三问为开放性构造题，利用诱导公式设计满足条件的原函数。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 对定义域是 $D_f$、 $D_g$ 的函数 $y=f(x)$、 $y=g(x)$，规定：函数 $h(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)g(x),& \text{当 }x\in D_f\text{ 且 }x\in D_g\\ f(x),& \text{当 }x\in D_f\text{ 且 }x\notin D_g\\ g(x),& \text{当 }x\notin D_f\text{ 且 }x\in D_g\end{array}$

(1)若函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$， $g(x)=x^2$，写出函数 $h(x)$ 的解析式；

(2)求问题(1)中函数 $h(x)$ 的值域；

(3)若 $g(x)=f(x+\alpha )$，其中 $\alpha$ 是常数，且 $\alpha \in [0,\pi ]$，请设计一个定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $y=f(x)$，及一个 $\alpha$ 的值，使得 $h(x)=\cos 4x$，并予以证明.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：分别求出 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定义域 $D_f$ 与 $D_g$，然后对实数集 $\mathbf{R}$ 进行交集、补集划分，代入新定义公式写出分段函数。
2. 第（2）问：对第（1）问求得的两段解析式分别求出在其对应自变量区间内的值域，最后取并集。
3. 第（3）问：由于 $D_f=\mathbf{R}$ 且 $g(x)=f(x+\alpha )$，则 $D_g=\mathbf{R}$。此时根据新定义， $h(x)$ 只能取第一种情况，即 $h(x)=f(x)f(x+\alpha )=\cos 4x$。结合余弦二倍角公式，寻找合适的 $f(x)$ 与平移量 $\alpha$。

✅【答案】

Success

设计方案为： $f(x)=\cos 2x+\sin 2x$， $\alpha =\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 对于 $f(x)=\frac{1}{x-1}$，其定义域为 $D_f=\{x|x\ne 1\}$。 对于 $g(x)=x^2$，其定义域为 $D_g=\mathbf{R}$。 由此可得各个集合范围：

• $x\in D_f$ 且 $x\in D_g⟺x\ne 1$；
• $x\in D_f$ 且 $x\notin D_g⟺x\in \varnothing$（空集，无此类点）；
• $x\notin D_f$ 且 $x\in D_g⟺x=1$。

根据新定义公式代入可得，函数 $h(x)$ 的解析式为： $h(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{x-1},& x\ne 1\\ 1,& x=1\end{array}$

（2）解： 分段求解 $h(x)$ 的值域： ① 当 $x=1$ 时， $h(1)=1$。 ② 当 $x\ne 1$ 时，令 $y=\frac{x^2}{x-1}$，去分母变形得： $x^2-yx+y=0$ 因为 $x$ 为实数且 $x\ne 1$（当 $x=1$ 时上式化为 $1=0$ 矛盾，故 $x\ne 1$ 自动满足）， 所以上述关于 $x$ 的一元二次方程必有实数解，其判别式满足： $\Delta =(-y{)}^2-4\times 1\times y\ge 0⟹y^2-4y\ge 0$ 解得： $y\le 0$ 或 $y\ge 4$。

综合 ①、②，取各段值域的并集，可得函数 $h(x)$ 的值域为： $\{y|y\le 0\text{ 或 }y=1\text{ 或 }y\ge 4\}(\text{或表示为 }(-\infty ,0]\cup \{1\}\cup [4,+\infty ))$

（3）解： 因为要求 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且 $g(x)=f(x+\alpha )$， 所以 $D_f=\mathbf{R}$， $D_g=\mathbf{R}$。 根据新定义，对于任意 $x\in \mathbf{R}$，恒有 $x\in D_f$ 且 $x\in D_g$， 因此 $h(x)=f(x)g(x)=f(x)f(x+\alpha )$。

我们要构造 $f(x)$ 和 $\alpha \in [0,\pi ]$，使得： $f(x)f(x+\alpha )=\cos 4x$

先取 $f(x)=\cos 2x-\sin 2x$， $\alpha =\frac{\pi }{4}$ 尝试。此时： $f\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos 2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\sin 2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)-\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$ 利用诱导公式化简得： $f\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\sin 2x-\cos 2x=-(\cos 2x+\sin 2x)$

从而： $h(x)=f(x)f\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=(\cos 2x-\sin 2x)\cdot [-(\cos 2x+\sin 2x)]$ $=-({\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x)$ 利用余弦二倍角公式 ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\cos 2\theta$，得： $h(x)=-\cos (2\times 2x)=-\cos 4x$ 结果比目标多一个负号。改取 $f(x)=\cos 2x+\sin 2x$， $\alpha =\frac{\pi }{4}$。 则 $f\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)+\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin 2x+\cos 2x$。 $h(x)=(\cos 2x+\sin 2x)(\cos 2x-\sin 2x)={\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x=\cos 4x$ 满足题意。

综上所述，设计方案为： $f(x)=\cos 2x+\sin 2x$， $\alpha =\frac{\pi }{4}$。（该题方案不唯一）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义函数规则拆解、判别式法求分式函数值域、三角函数诱导公式与二倍角公式的构造。
2. 核心方法：集合分类法、待定系数法。
3. 避坑指南：一是在第一问中，不要遗漏 $x=1$ 这一单独点的赋值段；二是在第二问利用判别式法求得范围 $(-\infty ,0]\cup [4,+\infty )$ 后，要与第一段的孤立点函数值 $h(1)=1$ 合并，漏掉 $\{1\}$ 会导致第二问失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题是新定义型综合题，考查新定义函数的解析式、值域与构造。 2.结论推广: 遇到形如 $f(x)f(x+\alpha )=\cos (2kx)$ 的构造问题，可利用二倍角公式，尝试构造 $f(x)=\cos kx\pm \sin kx$ 或 $f(x)=A\cos (kx+\varphi )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)