2005-上海卷理-19 解-椭圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题核心考查椭圆的几何性质与解析几何综合计算。第一问利用垂直关系建立方程组求出点 $P$ 的坐标；第二问通过点到直线的距离公式求出点 $M$ 的坐标，再将椭圆上的点到点 $M$ 的距离表示为一元二次函数，利用二次函数的轴对称性求出闭区间上的最小值。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 如图，点 $A$、 $B$ 分别是椭圆 $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ 长轴的左、右端点，点 $F$ 是椭圆的右焦点，点 $P$ 在椭圆上，且位于 $x$ 轴上方， $PA\perp PF$.

(1)求点 $P$ 的坐标；

(2)设 $M$ 是椭圆长轴 $AB$ 上的一点， $M$ 到直线 $AP$ 的距离等于 $|MB|$，求椭圆上的点到点 $M$ 的距离 $d$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：由椭圆方程得到 $A,B,F$ 的坐标。设 $P(x_0,y_0)$，利用 $PA\perp PF⟹\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{FP}=0$ 与 $P$ 在椭圆上联立方程组求出 $P$ 的坐标。
2. 第（2）问：写出直线 $AP$ 的方程，设 $M(m,0)$（$-6\le m\le 6$），利用点到直线距离公式及 $|MB|=6-m$ 解出 $m$。然后设椭圆上任意一点为 $(x,y)$，由距离公式写出 $d^2$ 关于 $x$ 的二次函数，结合 $x\in [-6,6]$ 求最值。

✅【答案】

Success

(1) $P\left(\frac{3}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$；

(2) $\sqrt{15}$。

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 由椭圆方程 $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ 可知， $a^2=36,b^2=20$。 则 $a=6$， $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-20}=4$。 所以各定点坐标为： $A(-6,0)$， $B(6,0)$， $F(4,0)$。

设点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$，且 $y_0>0$。 则 $\overrightarrow{AP}=(x_0+6,y_0)$， $\overrightarrow{FP}=(x_0-4,y_0)$。 因为 $PA\perp PF$，所以 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{FP}=0$，即： $(x_0+6)(x_0-4)+y_0^2=0⟹x_0^2+2x_0-24+y_0^2=0\text{(1)}$ 又因为点 $P$ 在椭圆上，满足： $\frac{x_0^2}{36}+\frac{y_0^2}{20}=1⟹y_0^2=20-\frac{5}{9}{x}_0^2\text{(2)}$

将 ② 代入 ① 得： $x_0^2+2x_0-24+20-\frac{5}{9}{x}_0^2=0⟹\frac{4}{9}{x}_0^2+2x_0-4=0$ 两边同乘以 9 整理得： $4x_0^2+18x_0-36=0⟹2x_0^2+9x_0-18=0$。 因式分解得： $(2x_0-3)(x_0+6)=0$。 由于 $y_0>0$，若 $x_0=-6$，代入 ② 得 $y_0=0$（不合题意舍去）。 故 $x_0=\frac{3}{2}$。 代入 ② 得： $y_0^2=20-\frac{5}{9}\times \frac{9}{4}=\frac{75}{4}$，因 $y_0>0$，得 $y_0=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。 所以点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{3}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$。

（2）解： 由 $A(-6,0)$ 和 $P\left(\frac{3}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$ 可得直线 $AP$ 的斜率为： $k_{AP}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}-0}{\frac{3}{2}-(-6)}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{\frac{15}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 所以直线 $AP$ 的方程为： $y-0=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+6)⟹\sqrt{3}x-3y+6\sqrt{3}=0$。

设点 $M$ 的坐标为 $(m,0)$，因为 $M$ 在长轴 $AB$ 上，所以 $-6\le m\le 6$。 则 $|MB|=6-m$。 点 $M$ 到直线 $AP$ 的距离为： $d_0=\frac{|\sqrt{3}m-3\times 0+6\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-3{)}^2}}=\frac{\sqrt{3}|m+6|}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}|m+6|}{2\sqrt{3}}=\frac{|m+6|}{2}$ 因为 $-6\le m\le 6$，所以 $m+6\ge 0$， $d_0=\frac{m+6}{2}$。 根据题意 $d_0=|MB|$，得： $\frac{m+6}{2}=6-m⟹m+6=12-2m⟹3m=6⟹m=2$ 所以点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$。

设椭圆上任意一点为 $Q(x,y)$，其到点 $M(2,0)$ 的距离为 $d$，则： $d^2=(x-2{)}^2+y^2=x^2-4x+4+y^2$ 将椭圆对应的 $y^2=20-\frac{5}{9}{x}^2$ 代入上式，消除 $y$ 转化为关于 $x$ 的一元二次函数： $d^2=x^2-4x+4+20-\frac{5}{9}{x}^2=\frac{4}{9}{x}^2-4x+24(x\in [-6,6])$ 该二次函数对称轴为： $x=-\frac{-4}{2\times \frac{4}{9}}=\frac{4}{\frac{8}{9}}=\frac{9}{2}=4.5$。 因为 $4.5\in [-6,6]$，所以当 $x=\frac{9}{2}$ 时， $d^2$ 取得最小值： $d_{\min }^2=\frac{4}{9}\times {\left(\frac{9}{2}\right)}^2-4\times \frac{9}{2}+24=9-18+24=15$ 所以距离 $d$ 的最小值为 $\sqrt{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直的代数转化、点到直线距离公式、二次函数在闭区间上的最值问题。
2. 核心方法：坐标消元法、目标函数最值分析法。
3. 避坑指南：一是在第（1）问化简一元二次方程时，解出的 $x_0=-6$ 会导致 $y_0=0$，而题目要求点 $P$ 在 $x$ 轴上方（$y_0>0$），必须舍去；二是在第（2）问求出 $d^2$ 的一元二次函数后，务必判定对称轴 $x=4.5$ 是否落在闭区间 $[-6,6]$ 内，再决定是否可以在顶点处直接取得最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题是标准的解析几何综合大题，融合了圆锥曲线的代数定义与平面解析几何的基本公式，侧重考查学生的方程运算与逻辑化简能力。 2.结论推广: 求解椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上的点到长轴上定点 $M(m,0)$ 的距离最值问题时，目标函数总能化为 $d^2=\frac{c^2}{a^2}{x}^2-2mx+m^2+b^2$（$x\in [-a,a]$），其对称轴为 $x=\frac{m{a}^2}{c^2}$，若该轴在 $[-a,a]$ 内部，则在顶点处取得最小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.04 距离公式汇总
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)