2005-上海卷理-17 解-异面直线所成的角

本题导读

本题核心考查空间异面直线所成角的求解。利用底面梯形的平行关系，将异面直线所成的角平移转化为同一三角形内的平面角，再通过解三角形确定其大小。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 如图，已知直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1=2$，底面 $ABCD$ 是直角梯形，$\angle A$ 是直角，$AB\parallel CD$，$AB=4$，$AD=2$，$DC=1$，求异面直线 $B{C}_1$ 与 $DC$ 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因为 $AB\parallel CD$，根据异面直线所成角的定义，异面直线 $B{C}_1$ 与 $DC$ 所成的角即为直线 $B{C}_1$ 与 $AB$ 所成的角（或其补角）。
2. 连接 $A{C}_1,AC$，在 $△AB{C}_1$ 中求出三边 $AB,B{C}_1,A{C}_1$ 的长。
3. 利用余弦定理求出 $\angle C_{1}BA$ 的余弦值，进而用反三角函数表示出对应夹角。

✅【答案】

Success

$\arccos \frac{3\sqrt{17}}{17}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：几何平移法 因为 $AB\parallel CD$， 所以异面直线 $B{C}_1$ 与 $DC$ 所成的角就是直线 $B{C}_1$ 与 $AB$ 所成的角。 连接 $A{C}_1,AC$。

在直角梯形 $ABCD$ 中， $\angle A=90^{\circ }$， $AD=2$，$DC=1$， 由勾股定理得： $AC=\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。 在直棱柱中， $C_{1}C\perp$ 平面 $ABCD$，故 $C_{1}C\perp AC$。 在 Rt$△C_{1}CA$ 中，$C{C}_1=A{A}_1=2$， 所以 $A{C}_1=\sqrt{C_1{C}^2+A{C}^2}=\sqrt{2^2+5}=3$。

过点 $C$ 作 $CH\perp AB$ 于 $H$，则 $AH=DC=1$， $CH=AD=2$。 所以 $HB=AB-AH=4-1=3$。 在 Rt$△CHB$ 中， $BC=\sqrt{C{H}^2+H{B}^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。 因为 $C_{1}C\perp BC$，在 Rt$△C_{1}CB$ 中， 所以 $B{C}_1=\sqrt{C_1{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{2^2+13}=\sqrt{17}$。

在 $△AB{C}_1$ 中， 已知 $AB=4$，$A{C}_1=3$，$B{C}_1=\sqrt{17}$。 由余弦定理得： $\cos \angle C_{1}BA=\frac{A{B}^2+B{C}_1^2-A{C}_1^2}{2\cdot AB\cdot B{C}_1}=\frac{4^2+17-3^2}{2\times 4\times \sqrt{17}}=\frac{24}{8\sqrt{17}}=\frac{3}{\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}$ 因为 $\cos \angle C_{1}BA>0$，所以 $\angle C_{1}BA$ 为锐角。 故异面直线 $B{C}_1$ 与 $DC$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{3\sqrt{17}}{17}$。

方法二：空间向量法 以 $A$ 为坐标原点，建立空间直角坐标系，使 $AB$ 轴为 $y$ 轴， $AD$ 轴为 $x$ 轴， $A{A}_1$ 轴为 $z$ 轴。 则各点坐标为： $A(0,0,0)$， $B(0,4,0)$， $C(2,1,0)$， $D(2,0,0)$， $C_1(2,1,2)$。

相应向量的坐标为： $\overrightarrow{DC}=(0,1,0)$ $\overrightarrow{B{C}_1}=(2,1-4,2)=(2,-3,2)$

设异面直线 $B{C}_1$ 与 $DC$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{\left|\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}\right|}{\left|\overrightarrow{DC}\right|\cdot \left|\overrightarrow{B{C}_1}\right|}=\frac{|0\times 2+1\times (-3)+0\times 2|}{1\times \sqrt{2^2+(-3{)}^2+2^2}}=\frac{3}{\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}$ 故异面直线 $B{C}_1$ 与 $DC$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{3\sqrt{17}}{17}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线所成角的平移转化、空间向量夹角公式。
2. 核心方法：平移三角形法、空间坐标建系法。
3. 避坑指南：空间异面直线所成角的取值范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，若使用向量法计算出的余弦值为负，务必加绝对值将其转化为对应的锐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题属于空间立体几何中关于直棱柱线线夹角计算的标准模版题，考查基本的空间想象与代数转化能力。 2.结论推广: 在任意直棱柱模型中，若底面存在两条相互平行的棱 $l_1\parallel l_2$，则过 $l_1$ 端点的侧对角线与 $l_2$ 的夹角可直接通过在底面投影组成的直角三角形进行降维转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)