2005-上海卷理-16 单-复合方程的根的个数

本题导读

本题考查复合方程根的个数问题。通过换元法将外层方程转化为一元二次方程，再根据内层函数的图象分析自变量 $x$ 的解的个数与中间变量 $t$ 的对应关系，从而确定系数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 设定定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}|\lg |x-1||,& x\ne 1\\ 0,& x=1\end{array}$，则关于 $x$ 的方程 $f^2(x)+bf(x)+c=0$ 有 7 个不同实数解的充要条件是 ()

A. $b<0$ 且 $c>0$　　　　　　　　　　　　　B. $b>0$ 且 $c<0$

C. $b<0$ 且 $c=0$　　　　　　　　　　　　　D. $b\ge 0$ 且 $c=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=f(x)$，将原方程转化为关于 $t$ 的一元二次方程 $t^2+bt+c=0$。
2. 观察内层函数 $f(x)$ 的图象与性质，分析对于不同的 $t$ 值，方程 $f(x)=t$ 对应的实数解 $x$ 的个数：

• 当 $t=0$ 时，求出 $x$ 的解的个数。
• 当 $t>0$ 时，求出 $x$ 的解的个数。

3. 根据总解数为 7 的要求，合理分配两个 $t$ 构成的解数组合，进而确定一元二次方程根的特征，利用根与系数的关系求得 $b,c$ 的范围。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=f(x)$（由绝对值及分段定义可知 $t\ge 0$），则原方程化为： $t^2+bt+c=0(\ast )$

先分析方程 $f(x)=t$ 的解 $x$ 的个数：

• 当 $t=0$ 时：

• 若 $x=1$，由分段函数定义知 $f(1)=0$，有 1 个解；

• 若 $x\ne 1$，由 $|\lg |x-1||=0⟹\lg |x-1|=0⟹|x-1|=1$，解得 $x=0$ 或 $x=2$。

• 综上，当 $t=0$ 时，方程 $f(x)=0$ 有且仅有 3 个不同的实数解（分别为 $x=0,1,2$）。

• 当 $t>0$ 时：

• 方程为 $|\lg |x-1||=t⟹\lg |x-1|=\pm t$。

• 当 $\lg |x-1|=t⟹|x-1|=10^t>1$，可解得 2 个不同的 $x$ 值；

• 当 $\lg |x-1|=-t⟹|x-1|=10^{-t}<1$，由于 $t>0$， $10^{-t}\ne 0$，同样可解得 2 个不同的 $x$ 值。

• 综上，当 $t>0$ 时，每个正数 $t$ 对应的方程 $f(x)=t$ 有且仅有 4 个不同的实数解。

由于关于 $x$ 的方程总共有 7 个不同的实数解，而外层一元二次方程 $(\ast )$ 最多只有两个实数根： 根据解的个数凑配：$7=3+4$。 这说明一元二次方程 $(\ast )$ 必须满足：一个根为 $t_1=0$，另一个根为 $t_2>0$。

将 $t_1=0$ 代入方程 $(\ast )$ 中，得： $0^2+b\times 0+c=0⟹c=0$

此时方程化为 $t^2+bt=0⟹t(t+b)=0$，解得两个根为 $t_1=0$，$t_2=-b$。 为了满足另一个根为正数（$t_2>0$），则必须有： $-b>0⟹b<0$

综上所述，方程有 7 个不同实数解的充要条件是 $b<0$ 且 $c=0$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含绝对值对数函数的零点与交点分析、换元法处理复合方程、一元二次方程特殊根的判定。
2. 核心方法：根的个数拆分凑配法。
3. 避坑指南：一是在分析 $f(x)=0$ 的解时，容易漏掉分段函数中 $x=1$ 处的 $f(1)=0$，误认为 $t=0$ 时只有 2 个解，从而无法凑出总数 7；二是在由 $t_2=-b>0$ 推导 $b$ 的范围时，注意负号，避免错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题是复合方程求根问题的典型选择题，考查换元法处理复合方程及根的个数分析。 2.结论推广: 设方程 $f(x)=t$ 的解数函数为 $N(t)$。解决复合方程 $F(f(x))=0$ 根的个数问题时，可先分析内层方程 $f(x)=t$ 的解数 $N(t)$，再结合外层方程根的情况，用整数拆分（如将 7 拆为一元二次方程两组解数之和）确定外层方程的根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)