2005-上海卷理-13 单-指数函数的单调性与值域

本题导读

本题核心考查指数型复合函数的单调性判定与值域（最值）分析，属于考查基本概念理解的选择题。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 若函数 $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$，则该函数在 $(-\infty ,+\infty )$ 上是 ()

A. 单调递减无最小值　　　　　　　　　　　B. 单调递减有最小值

C. 单调递增无最大值　　　　　　　　　　　D. 单调递增有最大值

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析分母部分 $g(x)=2^x+1$ 的单调性。
2. 根据倒数变换的单调性规律（或复合函数“同增异减”原则）确定 $f(x)$ 的单调性。
3. 利用自变量 $x\to \pm \infty$ 时的极限表现，分析函数的值域以及最值的存在性。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

首先分析单调性： 因为底数 $2>1$，所以指数函数 $y=2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。 常数不改变单调性，故分母 $g(x)=2^x+1$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增且恒大于 0。 根据倒数函数的单调性性质（增函数的倒数为减函数）， 可得 $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上是单调递减的。

接着分析最值： 由于 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递减，其值域边界在自变量趋于无穷大时取得。

• 当 $x\to -\infty$ 时，$2^x\to 0$，此时 $f(x)\to \frac{1}{0+1}=1$；
• 当 $x\to +\infty$ 时，$2^x\to +\infty$，此时分母趋于无穷大，故 $f(x)\to 0$。

从而可得函数 $f(x)$ 的值域区间为 $(0,1)$。 由于值域为两端开放的开区间，均不可取到端点值， 因此该函数既无最大值，也无最小值。

综上所述，该函数在 $(-\infty ,+\infty )$ 上是单调递减无最小值。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数单调性判定、开区间内最值的存在性辨析。
2. 核心方法：性质直接推导法、端点极限分析法。
3. 避坑指南：容易混淆“有界”与“有最值”的概念。虽然函数的值域被限制在 $(0,1)$ 之间，是有界的，但因为 $0$ 和 $1$ 都是极限状态下的渐近值，在实数集内没有任何一个具体的 $x$ 能让 $f(x)=0$ 成立，所以该函数没有最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由人教A版必修第一册“指数函数”章节中关于标准反比例指数函数的性质考查题改编而来。 2.结论推广: 对于形如 $F(x)=\frac{1}{a^x+b}$ （$a>1,b>0$）的函数，在其定义域 $\mathbf{R}$ 上恒单调递减，值域为 $\left(0,\frac{1}{b}\right)$，在闭区间上存在最值，但在开区间 $\mathbf{R}$ 上无最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

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