2005-上海卷理-12 填-全排列模型的对等对称性

本题导读

本题考查全排列模型的对等对称性，以及多项式双重求和的指标交换。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 用 $n$ 个不同的实数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 可得到 $n!$ 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 $n!$ 行的数阵.对第 $i$ 行 $a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}$，记 $b_i=-a_{i1}+2a_{i2}-3a_{i3}+\cdots +(-1{)}^{n}n{a}_{in}$，$i=1,2,3,\cdots ,n!$.例如：用 $1,2,3$ 可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是 $12$，所以，$b_1+b_2+\cdots +b_6=-12+2\times 12-3\times 12=-24$，那么，在用 $1,2,3,4,5$ 形成的数阵中，$b_1+b_2+\cdots +b_{120}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解“按列求和”的对称性原理：在一个包含全部 $n!$ 种全排列的数阵中，每个数字在任何一列中出现的次数都是完全均等的，因此数阵中每一列的所有数字之和恒相等。
2. 计算当 $n=5$ （数字为 $1,2,3,4,5$）时，每一列的元素之和。
3. 利用整体分配律，将所求代数式转化为各列代数系数与单列和相乘的形式，计算出最终结果。

✅【答案】

Success

$-1080$

✍【详细解析】

Abstract

在用 $1,2,3,4,5$ 这 5 个数组成的全排列数阵中，一共有 $5!=120$ 行，共 5 列。

根据排列的对称性，任何一个数字（如 1）在数阵的某一列中出现的次数是相同的。 当固定某一列的某个数字后，其余 4 个位置可以任意全排列，因此每个数字在每一列中均出现 $4!=24$ 次。 由此可得，该数阵中每一列的各数之和均为： $S_{\text{列}}=24\times (1+2+3+4+5)=24\times 15=360$

由于所求的总和为 ${\sum }_{i=1}^{120}{b}_i$，将其按列的定义展开并利用整体加法交换律重新结合： ${\sum }_{i=1}^{120}{b}_i=-(\text{第1列所有数之和})+2(\text{第2列所有数之和})-3(\text{第3列所有数之和})+4(\text{第4列所有数之和})-5(\text{第5列所有数之和})$

将每一列的相同和 $S_{\text{列}}=360$ 代入上式中： ${\sum }_{i=1}^{120}{b}_i=(-1+2-3+4-5)\times 360$ $=(-3)\times 360$ $=-1080$

答案为：$-1080$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：全排列模型的对等对称性、多项式双重求和的指标交换。
2. 核心方法：行和化列和的整体思想。
3. 避坑指南：切忌尝试通过具体写出 120 行的表达式去强行计算行向量，必须通过阅读题干中给出的 $n=3$ 的引导示例，彻底参透“每一列之和相等”这一关键隐藏几何性质。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题是由高等数学线性代数中的“行列式全排列各项展开”及组合数学中“数阵配平性质”思想剪裁而来的新定义试题，着重考查学生的数学建模与信息迁移能力。 2.结论推广: 设用 $1,2,\dots ,n$ 这 $n$ 个连续正整数构造 $n!$ 行的全排列数阵，则其每列的元素之和恒为 $S_{\text{列}}=(n-1)!\cdot \frac{n(n+1)}{2}$。按本题交错加权规则求得的最终总和公式为： ${\sum }_{i=1}^{n!}{b}_i=\left[{\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{k}k\right]\cdot \frac{(n+1)!}{2}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)