2005-上海卷理-09 填-余弦定理标准式

本题导读

本题考查余弦定理标准式、特殊角三角函数值，以及三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 在 $△ABC$ 中，若 $A=120^{\circ }$，$AB=5$，$BC=7$，则 $△ABC$ 的面积 $S=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $AC=b$，在 $△ABC$ 中利用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 建立关于 $b$ 的一元二次方程。
2. 解方程求出边 $AC$ 的长度（舍去负值）。
3. 利用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 计算出最终面积。

✅【答案】

Success

$\frac{15\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，已知 $A=120^{\circ }$，$c=AB=5$，$a=BC=7$。 设 $AC=b$。 根据余弦定理，有： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

代入数据得： $7^2=b^2+5^2-2\times b\times 5\times \cos 120^{\circ }$ $49=b^2+25-10b\times \left(-\frac{1}{2}\right)$ $49=b^2+25+5b$

移项整理得一元二次方程： $b^2+5b-24=0$

因式分解得： $(b+8)(b-3)=0$

解得 $b=3$ 或 $b=-8$（舍去）。 所以 $AC=3$。

根据三角形面积公式，可得： $S=\frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin A=\frac{1}{2}\times 5\times 3\times \sin 120^{\circ }=\frac{15}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$

答案为：$\frac{15\sqrt{3}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理标准式、特殊角三角函数值（$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2},\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$）、三角形面积两边夹一角公式。
2. 核心方法：方程法。
3. 避坑指南：一是注意 $\cos 120^{\circ }$ 为负值，在公式展开时避免符号代错导致整式方程错误；二是求出几何边长后必须满足正数要求，剔除负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“解三角形”章节中关于正弦定理、余弦定理与面积公式复合的基础应用题。 2.结论推广: 在 $△ABC$ 中，若已知 $A,a,c$，且 $A$ 为钝角，若 $a>c\sin A$，则通过余弦定理建立的关于 $b$ 的一元二次方程必有唯一正根，此三角形形状唯一确定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

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