2005-上海卷理-08 填-古典概型

本题导读

本题核心考查古典概型的概率计算。通过从两个不同特征的子群体中各抽取一人，考查分步计数原理与总组合数的比值关系。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 某班有 50 名学生，其中 15 人选修 $A$ 课程，另外 35 人选修 $B$ 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是$\underline{}$.（结果用分数表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定总的基本事件数：从 50 名学生中任选 2 人的组合数 $C_{50}^2$。
2. 确定目标事件数：两人选修不同课程，即一人来自选修 $A$ 课程的 15 人，另一人来自选修 $B$ 课程的 35 人，方案数为 $C_{15}^1\cdot C_{35}^1$。
3. 利用古典概型概率公式求出最终结果。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：组合数法（古典概型） 从 50 名学生中任选 2 人的总方法数为： $N=C_{50}^2=\frac{50\times 49}{2\times 1}=1225$

选出的 2 名学生选修不同课程（即 1 人选 $A$ 课程，1 人选 $B$ 课程）的方法数为： $m=C_{15}^1\cdot C_{35}^1=15\times 35=525$

因此，所求概率为： $P=\frac{m}{N}=\frac{525}{1225}=\frac{21}{49}=\frac{3}{7}$

方法二：分步概率法 任选两名学生选修不同课程，包含“先选 $A$ 后选 $B$”与“先选 $B$ 后选 $A$”两种互斥情况： $P=\frac{15}{50}\times \frac{35}{49}+\frac{35}{50}\times \frac{15}{49}=2\times \frac{15\times 35}{50\times 49}=2\times \frac{3\times 5}{10\times 7}=\frac{30}{70}=\frac{3}{7}$

答案为：$\frac{3}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数公式计算、古典概型 $P(A)=\frac{m}{n}$ 的应用。
2. 核心方法：元素分组抽取组合法。
3. 避坑指南：一是在计算 $C_{50}^2$ 时注意不要漏掉分母的 $2!$；二是若采用分步分情况概率法（方法二），极易漏掉乘以前后顺序的系数 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“概率”章节中关于古典概型的经典摸球模型（如红球与白球混合抽取）的变式题。 2.结论推广: 设总量为 $n$ 的群体被分为两类，数量分别为 $n_1$ 和 $n_2$（$n_1+n_2=n$），从中任取 2 人属于不同类别的概率公式为 $P=\frac{C_{n_1}^1{C}_{n_2}^1}{C_n^2}=\frac{2n_1{n}_2}{n(n-1)}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

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