2005-上海卷理-07 填-数列极限基本运算法则

本题导读

本题考查数列极限基本运算法则，以及公比小于 1 的指数幂极限性质。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 计算：${\lim }_{n\to \infty }\frac{3^{n+1}-2^n}{3^n+2^{n-1}}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察分子与分母中各指数项的底数， $3>2$，因此 $3^n$ 为起主导作用的无穷大项。
2. 将分子、分母同时除以 $3^n$，使得含底数为 2 的项转化为公比绝对值小于 1 的几何级数形式。
3. 利用已知极限结论 ${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0$ ($|q|<1$) 进行化简求值。

✅【答案】

Success

$3$

✍【详细解析】

Abstract

将原式分子分母中的指数项进行拆分： $\frac{3^{n+1}-2^n}{3^n+2^{n-1}}=\frac{3\cdot 3^n-2^n}{3^n+\frac{1}{2}\cdot 2^n}$

分子、分母同时除以 $3^n$，得： $\frac{3-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1+\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n}$

因为 $\left|\frac{2}{3}\right|<1$，所以有 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$。

根据数列极限的运算法则，两边取极限得： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{3\cdot 3^n-2^n}{3^n+\frac{1}{2}\cdot 2^n}=\frac{3-0}{1+\frac{1}{2}\times 0}=3$

答案为：$3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列极限基本运算法则、公比小于 1 的指数幂极限性质。
2. 核心方法：最高阶无穷大因子提取法。
3. 避坑指南：一是不要将 $3^{n+1}$ 错看为 $3^n+1$，必须熟练掌握幂的性质 $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$；二是切忌直接将无穷大代入进行 $\frac{\infty }{\infty }$ 的无意义运算，必须先做分式转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题属于上海高考数学中对“极限与微积分初步”章节的经典考查题型，考查基本的代数式极限化简技巧。 2.结论推广: 对于形如 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{A\cdot a^n+B\cdot b^n}{C\cdot a^n+D\cdot b^n}$ 的极限，若 $a>b>0$，则该式极限结果恒由底数较大项的系数决定，即结果为 $\frac{A}{C}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)