2005-上海卷理-04 填-二项式通项公式

本题导读

本题考查二项式通项公式，以及组合数计算。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 在 $(x-a{)}^{10}$ 的展开式中，$x^7$ 的系数是 15，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 令 $x$ 的指数等于 $7$，求出对应的 $r$ 值。
3. 将 $r$ 值代入系数表达式，结合已知系数 $15$ 建立关于 $a$ 的方程并求解。

✅【答案】

Success

$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$(x-a{)}^{10}$ 的展开式通项公式为： $T_{r+1}=C_{10}^r{x}^{10-r}(-a{)}^r=(-1{)}^r{C}_{10}^r{a}^r{x}^{10-r}$ 令 $10-r=7$，解得 $r=3$。 所以 $x^7$ 的项为 $T_4=(-1{)}^3{C}_{10}^3{a}^3{x}^7=-C_{10}^3{a}^3{x}^7$。 因为 $C_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$， 所以 $x^7$ 的系数为 $-120a^3$。 根据题意有： $-120a^3=15⟹a^3=-\frac{15}{120}=-\frac{1}{8}$ 解得：$a=-\frac{1}{2}$。

答案为：$-\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$、组合数计算。
2. 核心方法：公式代入法。
3. 避坑指南：极易漏掉项 $(-a{)}^r$ 中的负号。在写通项时，务必将负号与常数 $a$ 视为一个整体进行幂次运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“计数原理”章节中二项式定理的课后基本练习题。 2.结论推广: 对于展开式 $(x-a{)}^n$，其 $x^{n-r}$ 项的系数恒为 $(-1{)}^r{C}_n^r{a}^r$。

🔗【关联脉络】

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