2005-上海卷理-02 填-指数方程的解法

本题导读

本题核心考查指数方程的解法。通过换元法将指数方程转化为一元二次方程，再结合指数函数的有界性完成求解。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 方程 $4^x+2^x-2=0$ 的解是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用幂的运算法则将 $4^x$ 变形为 $(2^x{)}^2$，引入辅助变量 $t=2^x$ 降低方程次数。
2. 解对应的一元二次方程求出 $t$ 的值，根据指数函数的值域特性剔除不合题意的根。
3. 将符合要求的 $t$ 值回代，求出原方程的实数解 $x$。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

原方程变形为：$(2^x{)}^2+2^x-2=0$。 令 $t=2^x$（由于指数函数的值域限制，必有 $t>0$）。 则原方程转化为关于 $t$ 的一元二次方程： $t^2+t-2=0$ 因式分解得： $(t-1)(t+2)=0$ 解得：$t_1=1$，$t_2=-2$。 因为 $t>0$，所以舍去 $t=-2$，留取 $t=1$。

将 $t=1$ 回代得： $2^x=1$ 解得：$x=0$。

答案为：$0$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数换元、一元二次方程求解、指数函数定义域与值域限制。
2. 核心方法：元代换法（化高次为低次）。
3. 避坑指南：极易在求出 $t=-2$ 后直接去求对应的 $x$ 导致出错，务必牢记对于任意实数 $x$，恒有 $2^x>0$，负根必须舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“指数函数及其性质”章节中关于“指数方程与换元法”的课后基础习题。 2.结论推广: 对于形如 $a\cdot m^{2x}+b\cdot m^x+c=0$（$m>0,m\ne 1$）的一元二次型指数方程，若通过换元 $t=m^x$ 化为 $a{t}^2+bt+c=0$，则该指数方程有实数解的充要条件是代数方程至少含有一个正实数根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)