2005-上海卷理-01 填-反函数的解析式求解

本题导读

本题考查反函数的解析式求解，以及对数式与指数式的互化。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 函数 $f(x)={\log }_4(x+1)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将原函数表示为 $y={\log }_4(x+1)$，利用对数定义将 $x$ 反解出来。
2. 将反解出的表达式中的 $x$ 与 $y$ 对调，并确定反函数的定义域。

✅【答案】

Success

$4^x-1$

✍【详细解析】

Abstract

令 $y={\log }_4(x+1)$，由对数与指数的互化关系得： $x+1=4^y$ 解得：$x=4^y-1$ 将 $x$ 与 $y$ 对调，可得反函数的解析式为： $f^{-1}(x)=4^x-1$ 因为原函数 $f(x)$ 的值域为 $\mathbf{R}$，所以反函数的定义域为 $\mathbf{R}$。

答案为：$4^x-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的解析式求解、对数式 $y={\log }_{a}X⟺X=a^y$ 的转换。
2. 核心方法：反解自变量法。
3. 避坑指南：移项时注意正负号，不要将 $x=4^y-1$ 错写成 $x=4^{y-1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“对数函数”章节中关于互为反函数的指数与对数基本关系的传统练习题。 2.结论推广: 函数 $f(x)={\log }_a(x+b)$（$a>0,a\ne 1$）的反函数为 $f^{-1}(x)=a^x-b$，其定义域为 $\mathbf{R}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

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