2005-上海卷文-20 解-等差等比数列应用

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的实际应用，核心在于对”累计面积”用求和公式、对”当年比例”用通项分别建模。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 假设某市 $2004$ 年新建住房面积 $400$ 万平方米，其中有 $250$ 万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 $8\%$．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 $50$ 万平方米．那么，到哪一年底，

(1) 该市历年所建中低价房的累计面积（以 $2004$ 年为累计的第一年）将首次不少于 $4750$ 万平方米？

(2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 $85\%$？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 中低价房逐年 $a_n=250+(n-1)\times 50$（等差）；总住房 $b_n=400\times 1.08^{n-1}$（等比）。
2. (1) 累计 $S_n=25n^2+225n⩾4750$，解 $n⩾10$，$2013$ 年底。
3. (2) $a_n>0.85b_n$：$250+50(n-1)>340\times 1.08^{n-1}$，试根 $n=6$，$2009$ 年底。

✅【答案】

Success

（1）2013年底.（2）2009年底.

✍【详细解析】

Abstract

设 $2004$ 年为第 $1$ 年，中低价房面积 $a_n=250+(n-1)\times 50$（等差数列），新建住房面积 $b_n=400\times 1.08^{n-1}$（等比数列）． (1) 前 $n$ 年中低价房累计面积 $S_n=250n+\frac{n(n-1)}{2}\times 50=25n^2+225n$． 由 $S_n⩾4750$ 得 $n^2+9n-190⩾0$，即 $(n-10)(n+19)⩾0$，故 $n⩾10$． 到 $2013$ 年底累计面积首次不少于 $4750$ 万平方米． (2) 当年比例大于 $85\%$，即 $a_n>0.85b_n$：$250+50(n-1)>400\times 1.08^{n-1}\times 0.85=340\times 1.08^{n-1}$． 逐一试算：$n=5$ 时左 $450$、右约 $462.6$（不成立）；$n=6$ 时左 $500$、右约 $499.6$（成立）． 故到 $2009$ 年底，当年建造的中低价房面积占该年建造住房面积的比例首次大于 $85\%$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比数列应用

核心方法：(1) 累加求和 $S_n=25n^2+225n⩾4750$；(2) 建立不等式 $a_n>0.85b_n$ 用计算器试根

避坑指南：累计”以 2004 为第一年”勿错位；等比数列 $b_n=400(1.08{)}^{n-1}$ 指数是 $n-1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列应用题（住房面积）是等差等比数列的现实模型

结论推广：累计量用求和公式、当年量用通项，分别建模

方法推广：试根法解高次不等式（计算器辅助）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III理-20 解-点差法
• 2011-大纲卷理-20 解-等差数列