2004-重庆理-19 解-线面垂直与面面垂直

本题导读

本题考查异面直线的公垂线定义。核心在于传统几何证明法、空间直角坐标系向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面是正方形， $PA\perp$ 底面 $ABCD$， $AE\perp PD$， $EF\parallel CD$， $AM=EF$.

(1)证明： $MF$ 是异面直线 $AB$ 与 $PC$ 的公垂线；

(2)若 $PA=3AB$，求直线 $AC$ 与平面 $EAM$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 公垂线的几何证明路径：
   • 要证 $MF$ 是 $AB$ 与 $PC$ 的公垂线，根据定义需同时证明 $MF\perp AB$ 且 $MF\perp PC$．
   • 证 $MF\perp AB$：由底面为正方形知 $CD\parallel AB$，又已知 $EF\parallel CD$，故 $EF\parallel AB$．由 $AM=EF$ 且 $AM\subset AB$，可证四边形 $AMEF$ 为平行四边形，从而 $MF\parallel AE$．再由 $AB\perp$ 平面 $PAD$ 且 $AE\subset$ 平面 $PAD$，得 $AB\perp AE$，等价代换得 $AB\perp MF$．
   • 证 $MF\perp PC$：由 $CD\perp$ 平面 $PAD$ 导出 $CD\perp AE$，结合 $EF\parallel CD$ 得 $EF\perp AE$．在平面 $PCD$ 内，利用线面垂直性质可证 $AE\perp$ 平面 $PCD$．由于 $MF\parallel AE$，故 $MF\perp$ 平面 $PCD$，从而 $MF\perp PC$．
2. 线面角的向量建立与计算：
   • 以 $A$ 为原点， $AB,AD,AP$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系．设 $AB=1$，则 $PA=3$．
   • 确定关键点 $A,C,M,E$ 的空间坐标，求出平面 $EAM$ 的法向量 $\vec{\mathbf{n}}$ 以及直线 $AC$ 的方向向量 $\overrightarrow{\mathbf{AC}}$．
   • 利用线面角公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{\mathbf{AC}},\vec{\mathbf{n}}⟩|=\frac{|\overrightarrow{\mathbf{AC}}\cdot \vec{\mathbf{n}}|}{|\overrightarrow{\mathbf{AC}}|\cdot |\vec{\mathbf{n}}|}$ 求解．

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\frac{\sqrt{5}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： $MF$ 是异面直线 $AB$ 与 $PC$ 的公垂线 因为底面 $ABCD$ 是正方形，所以： $AB\parallel CD$ 又已知 $EF\parallel CD$，根据平行公理可得： $EF\parallel AB$ 因为点 $M$ 在棱 $AB$ 上，且 $AM=EF$，结合 $EF\parallel AM$，可知四边形 $AMEF$ 是平面内的平行四边形． 因此，对边互相平行： $MF\parallel AE\text{（式1）}$

因为 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，且 $AB\subset$ 底面 $ABCD$，所以 $PA\perp AB$． 又底面为正方形， $AD\perp AB$，且 $PA\cap AD=A$，根据线面垂直判定定理： $AB\perp \text{平面 }PAD$ 由于 $AE\subset$ 平面 $PAD$，所以： $AB\perp AE$ 结合（式1） $MF\parallel AE$，等价代换可得： $AB\perp MF\text{（式2）}$

因为 $CD\perp AD$ 且 $CD\perp PA$， $AD\cap PA=A$，所以 $CD\perp$ 平面 $PAD$． 由于 $AE\subset$ 平面 $PAD$，所以 $CD\perp AE$． 又已知 $EF\parallel CD$，故： $EF\perp AE$ 在平面 $PCD$ 内，已知 $AE\perp PD$ 且 $AE\perp EF$， $PD\cap EF=E$，根据线面垂直判定定理： $AE\perp \text{平面 }PCD$ 由于 $PC\subset$ 平面 $PCD$，所以 $AE\perp PC$． 结合（式1） $MF\parallel AE$，等价代换可得： $MF\perp PC\text{（式3）}$

综合（式2）与（式3）， $MF$ 同时垂直于异面直线 $AB$ 与 $PC$，且 $MF$ 与两直线相交，故 $MF$ 是异面直线 $AB$ 与 $PC$ 的公垂线．

（2）若 $PA=3AB$，求直线 $AC$ 与平面 $EAM$ 所成角的正弦值 以 $A$ 为坐标原点，射线 $AB,AD,AP$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$．

设正方形的边长 $AB=1$，则 $PA=3$．各关键点坐标为： $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,3)$ 则直线 $AC$ 的方向向量为： $\overrightarrow{\mathbf{AC}}=(1,1,0)$

在 $△PAD$ 中， $PA=3,AD=1,PD=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$． 因为 $AE\perp PD$，由面积射影定理或相似三角形性质： $AE=\frac{PA\cdot AD}{PD}=\frac{3\times 1}{\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$ $DE=\frac{A{D}^2}{PD}=\frac{1}{\sqrt{10}}⟹PE=PD-DE=\sqrt{10}-\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{9}{\sqrt{10}}$ 根据定比分点或向量投影，点 $E$ 在 $yOz$ 平面内的坐标满足： $y_E=\frac{PE}{PD}\cdot y_D=\frac{9}{10}\times 1=\frac{9}{10}$ $z_E=\frac{DE}{PD}\cdot z_P=\frac{1}{10}\times 3=\frac{3}{10}$ 故 $E\left(0,\frac{9}{10},\frac{3}{10}\right)$．

因为四边形 $AMEF$ 是平行四边形，且 $EF\parallel CD\parallel AB$（即平行于 $x$ 轴），所以 $MF\parallel AE$． 由于 $AE\perp$ 平面 $PCD$，且 $CD$ 轴向为 $x$ 轴，可知 $E$ 与 $F$ 的 $y,z$ 坐标完全相同． 由 $△PDE\sim △CDF$ 可推得 $EF$ 长度，在此直接利用第一问结论： 在直角 $△PAD$ 中，由射影定理得 $A{E}^2=PE\cdot DE⟹EF=AM=\frac{PE}{PD}\cdot CD=\frac{9}{10}$． 因此，点 $M$ 在 $x$ 轴上，坐标为 $M\left(\frac{9}{10},0,0\right)$．

由此可得平面 $EAM$ 内的两个基底向量： $\overrightarrow{\mathbf{AM}}=\left(\frac{9}{10},0,0\right),\overrightarrow{\mathbf{AE}}=\left(0,\frac{9}{10},\frac{3}{10}\right)$

设平面 $EAM$ 的法向量为 $\vec{\mathbf{n}}=(x,y,z)$，则满足： $\{\begin{array}{l}\vec{\mathbf{n}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{AM}}=0⟹\frac{9}{10}x=0⟹x=0\\ \vec{\mathbf{n}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{AE}}=0⟹\frac{9}{10}y+\frac{3}{10}z=0⟹3y+z=0\end{array}$ 令 $y=1$，则 $z=-3$，故平面 $EAM$ 的一个法向量为： $\vec{\mathbf{n}}=(0,1,-3)$

设直线 $AC$ 与平面 $EAM$ 所成的角为 $\theta$，根据线面角的向量公式： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{\mathbf{AC}},\vec{\mathbf{n}}⟩|=\frac{|\overrightarrow{\mathbf{AC}}\cdot \vec{\mathbf{n}}|}{|\overrightarrow{\mathbf{AC}}|\cdot |\vec{\mathbf{n}}|}$ 代入向量坐标进行控算： $\overrightarrow{\mathbf{AC}}\cdot \vec{\mathbf{n}}=1\times 0+1\times 1+0\times (-3)=1$ $|\overrightarrow{\mathbf{AC}}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$ $|\vec{\mathbf{n}}|=\sqrt{0^2+1^2+(-3{)}^2}=\sqrt{10}$ 因此： $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$

答：直线 $AC$ 与平面 $EAM$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直判定定理（若直线垂直于平面内两条相交直线，则直线垂直于该平面）；异面直线公垂线的双重垂直界定；空间向量法求解线面角的正弦通式 $\sin \theta =\frac{|\vec{\mathbf{v}}\cdot \vec{\mathbf{n}}|}{|\vec{\mathbf{v}}||\vec{\mathbf{n}}|}$．
2. 核心方法：平行四边形过渡法、空间直角坐标系建系法．
3. 避坑指南：
   • 第一问垂直推导不完整：在证明 $AB\perp MF$ 时，必须交代 $AB\perp$ 平面 $PAD$ 的完整条件（垂直于 $PA$ 和 $AD$ 两条相交直线），缺少相交交代在大纲判卷中属于逻辑不严密扣分点．
   • 建系后几何长度计算笔误：第二问点 $E$ 的坐标属于斜截面射影点，其高乘比例 $\frac{9}{10}$ 和 $\frac{3}{10}$ 极易算错．建系后必须在草稿纸上利用 $△PAe\sim △PDa$ 的相似三角形边长比例进行严格复核．

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查立体几何空间射影与向量度量的经典大纲解答题，属于中高难度常规题。
2. 结论推广: 证明线面垂直，可用线面垂直判定定理（线垂直于面内两条相交直线）；证明面面垂直，可转化为线面垂直（一个平面过另一个平面的垂线）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 2007-浙江文-20 解-线面垂直与线面角
• 1957-全国-05 解-平行平面二等分线段