2004-重庆理-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 若在 $(1+ax{)}^5$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $-80$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项式展开式的通项公式：根据二项式定理， $(1+ax{)}^5$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}={\text{C}}_5^r\cdot 1^{5-r}\cdot (ax{)}^r={\text{C}}_5^r\cdot a^r\cdot x^r$。
2. 锁定指定项并建立方程：题目要求 $x^3$ 的系数，令通项中 $x$ 的指数 $r=3$。代入可得该项的系数为 ${\text{C}}_5^3\cdot a^3$。使其等于已知值 $-80$，解出 $a$ 的值。

✅【答案】

Success

$a=-2$

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理，二项式 $(1+ax{)}^5$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_5^r\cdot 1^{5-r}\cdot (ax{)}^r={\text{C}}_5^r\cdot a^r\cdot x^r(r=0,1,2,3,4,5)$

要寻找展开式中含 $x^3$ 的项，令 $x$ 的指数满足： $r=3$

将 $r=3$ 代入通项公式中，得到第 4 项为： $T_4={\text{C}}_5^3\cdot a^3\cdot x^3$

计算组合数特征值： ${\text{C}}_5^3={\text{C}}_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$ 因此， $x^3$ 的系数为 $10a^3$。

根据题意，该项系数为 $-80$，建立一元三次方程： $10a^3=-80$ 两边同时除以 10 实施化简： $a^3=-8$ 对两边开立方根，求得实数根： $a=\sqrt[3]{-8}=-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式通项通式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的记忆；组合数的数值计算；一元奇次幂方程的实数根求解。
2. 核心方法：通项分析法。
3. 避坑指南：
   • 混淆项数与项的计数器 $r$：注意含 $x^3$ 的项对应的是 $r=3$，即展开式的第 4 项（$T_4$），切勿将 $r$ 错套为 4。
   • 遗漏系数中的项分量 $a^3$：在提取系数时，务必将属于常数项的参数幂次 $a^3$ 整体剥离出来，防止漏记成 $10a=-80$。
   • 奇次开方负号判定失误：注意 $a^3=-8$ 开奇次方在实数域内有唯一负根 $-2$，符号必须保留。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查二项式定理系数控算的标准大纲填空题第一题，属于低难度送分题。
2. 结论推广: 本题涉及的系数化简模型属于通用的牛顿二项式变换核模型。一般地，对于形如 $(\alpha +\beta x{)}^n$ 的代数图形，其指定幂次 $x^k$ 的组合度量完全由高阶微积分运算（麦克劳林级数）的恒等性质唯一锁定，即 $a_k=\frac{1}{k!}\frac{{\text{d}}^k}{\text{d}{x}^k}(\alpha +\beta x{)}^n{|}_{x=0}={\text{C}}_n^k{\alpha }^{n-k}{\beta }^k$。这一离散组合数向多项式系数的映射机制，在高等代数（生成函数论）、概率论与数理统计（二项分布期望与方差的矩母函数推导）中构成了。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1987-上海-11 填-二项展开式系数的差
• 1987-全国文-11 填-二项展开式系数的关系
• 1988-全国文-07 单-二项式展开式的系数