2004-重庆理-12 单-空间两平面的夹角

本题导读

本题考查空间两平面的夹角，以及圆锥曲线的定义。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 若三棱锥 $A-BCD$ 的侧面 $ABC$ 内一动点 $P$ 到底面 $BCD$ 的距离与到棱 $AB$ 的距离相等，则动点 $P$ 的轨迹与 $△ABC$ 组成图形可能是 ()

🔍【思路分析】

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1. 统一考查平面，转化点到平面的距离：
   • 动点 $P$ 在侧面平面 $ABC$ 内运动。设侧面 $ABC$ 与底面 $BCD$ 所成的二面角为 $\theta$（棱为 $BC$）。
   • 设动点 $P$ 到棱 $BC$ 的垂直距离为 $d_{P-BC}$。根据空间图形的投影性质，点 $P$ 到底面 $BCD$ 的垂直距离 $d_{P-\text{底面}}$ 满足射影关系： $d_{P-\text{底面}}=d_{P-BC}\cdot \sin \theta$。
2. 构建侧面内的距离等式：
   • 题目已知： $d_{P-\text{底面}}=d_{P-AB}$（其中 $d_{P-AB}$ 为点 $P$ 在侧面内到棱 $AB$ 的垂直距离）。
   • 代入射影关系，得到侧面 $ABC$ 平面内的纯二维距离等式： $d_{P-BC}\cdot \sin \theta =d_{P-AB}⟹\frac{d_{P-AB}}{d_{P-BC}}=\sin \theta$。
3. 识别圆锥曲线定义：
   • 在平面 $ABC$ 内，棱 $AB$ 和 $BC$ 是两条相交于点 $B$ 的定直线。上面的等式意味着：动点 $P$ 到定直线 $AB$ 的距离与到定直线 $BC$ 的距离之比是一个恒定的常数 $k=\sin \theta$。
   • 由于侧面与底面不垂直且不重合，二面角 $\theta \in (0^{\circ },180^{\circ })$ 且 $\theta \ne 90^{\circ }$（由选项形态及非退化多面体常识知 $\sin \theta \in (0,1)$）。
   • 根据平面几何中“到两相交直线距离之比为常数的点轨迹”性质，该轨迹在顶角内部是一条以交点 $B$ 为起点的射线。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

为了将空间距离约束转化为动点 $P$ 所在侧面 $ABC$ 平面内的二维解析几何关系，我们进行如下投影推导：

第一步：空间点面距离向线线距离的射影转化 设侧面平面 $ABC$ 与底面平面 $BCD$ 所交的交线棱为 $BC$，它们之间所成二面角的大小为 $\theta$ （显然 $\theta$ 是一个固定常数，且因为三棱锥的非退化性， $\sin \theta >0$）。

在侧面平面 $ABC$ 内，过动点 $P$ 作 $PE\perp BC$ 于点 $E$，则线段 $PE$ 的长度即为点 $P$ 到直线 $BC$ 的二维距离，记作 $d_{P-BC}$。 再过点 $P$ 作 $PO\perp$ 底面 $BCD$ 于点 $O$，过点 $O$ 作 $OF\perp BC$ 于点 $F$，连接 $PF$。 根据三垂线定理的逆定理，必有 $PF\perp BC$，则 $\angle PFO$ 即为二面角 $\alpha -BC-\beta$ 的平面角， $\angle PFO=\theta$。 在直角三角形 $△POF$ 中： $PO=PF\cdot \sin \theta$ 由于 $PE$ 与 $PF$ 均表示侧面平面内点 $P$ 到直线的垂线段，在平面几何内它们必然重合（即 $E$ 与 $F$ 为同一点）。因此，动点 $P$ 到底面 $BCD$ 的空间垂直距离等价为： $d_{P-\text{底面}}=d_{P-BC}\cdot \sin \theta \text{（式1）}$

第二步：建立平面内双直线距离的方程 题目已知动点 $P$ 满足的空间几何硬性约束为： $d_{P-\text{底面}}=d_{P-AB}\text{（式2）}$ (其中 $d_{P-AB}$ 为平面 $ABC$ 内点 $P$ 到另一条边界棱 $AB$ 的垂直距离)。

将（式1）代入（式2）中，将空间问题彻底化归为平面 $ABC$ 内部的代数度量问题： $d_{P-BC}\cdot \sin \theta =d_{P-AB}$ 由于二面角 $\theta$ 是确定值，两边同除以 $d_{P-BC}$（当 $P$ 不在边界 $BC$ 上时）： $\frac{d_{P-AB}}{d_{P-BC}}=\sin \theta \text{（式3）}$

第三步：由几何轨迹定义锁定图形形态 聚焦于平面 $ABC$： 棱 $AB$ 和 棱 $BC$ 是两条相交于顶点 $B$ 的确定直线。 （式3）说明：在 $△ABC$ 内部，动点 $P$ 到直线 $AB$ 的垂直距离与到直线 $BC$ 的垂直距离之比是一个恒定的常数 $\lambda =\sin \theta$。

根据平面解析几何轨迹理论，到一个角两边距离之比为常数的点的轨迹满足方程： $\frac{|A_{1}x+B_{1}y+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\lambda \frac{|A_{2}x+B_{2}y+C_2|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$ 这展开后是一个关于 $x$ 和 $y$ 的齐次线性方程（形如 $y=kx$）。由于动点 $P$ 被严格封闭在三角形的内部（即一侧区域），去掉绝对值号后，其对应着一条以两相交直线的交点 $B$ 为起点向外延伸的射线。

比对四个选项所提供的图形特征：

• (A) 轨迹为一段凹弧线（抛物线或椭圆弧），不符；
• (B) 轨迹为一段凸弧线，不符；
• (C) 轨迹为一条从顶点 $B$ 出发、交于对边 $AC$ 上的直线段（射线在三角形内的截断），完美符合；
• (D) 虽也是线段，但穿透方向或斜率状态不属于相交直线的角分射影图形（且根据 $\sin \theta \in (0,1)$ 的大小，射线必然更偏向于某一条棱，构成非对称平分线段）。

因此，动点 $P$ 的轨迹是一条以 $B$ 为端点的线段。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间点面垂直投影向面内线线垂直的射影公式转化（$d_{\text{面}}=d_{\text{线}}\sin \theta$）；平面内到两条相交直线距离之比为常数的特征轨迹（射线图形）。
2. 核心方法：三垂线投影化归法、齐次方程特征轨迹判定法。
3. 避坑指南：
   • 误将条件套用为抛物线定义而错选 A 或 B：许多学生一看到“到平面的距离等于到直线的距离”就盲目联想到抛物线定义（到定点距离等于到定直线距离）。务必看清题目中是“到棱（直线）的距离”，而非到“定点”的距离。到两直线的距离属于代数式比值，其轨迹在平面内是直线（射线），绝非二次曲线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查“立体几何点线面投影”与“平面解析几何特征根轨迹”交汇的顶级压轴选择题，具有极高的战略级区分度。
2. 结论推广: 求两平面的夹角（二面角），常找其平面角，即过两平面交线上一点分别在两平面内作交线的垂线，两垂线的夹角即为二面角的平面角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1977-福建文-04 解-抛物线与圆切线