2004-重庆理-08 单-二面角及其平面角的定义

本题导读

本题考查二面角及其平面角的定义，以及四点共圆的几何性质。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 设 $P$ 是 60° 的二面角 $\alpha -l-\beta$ 内一点， $PA\perp$ 平面 $\alpha$， $PB\perp$ 平面 $\beta$， $A,B$ 为垂足， $PA=4,PB=2$，则 $AB$ 的长为 ()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2\sqrt{5}$　　　　　　　C. $2\sqrt{7}$　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析线面垂直的空间射影几何：
   • 已知 $PA\perp$ 平面 $\alpha$， $PB\perp$ 平面 $\beta$，棱为 $l$。根据线面垂直的性质，直线 $PA\perp l$ 且 $PB\perp l$。
   • 这说明由两条相交直线 $PA$ 和 $PB$ 确定的平面 $PAB$ 与二面角的棱 $l$ 严格垂直。
2. 转化空间角为平面角：
   • 设平面 $PAB$ 与棱 $l$ 交于点 $O$，连接 $OA,OB$。由于 $l\perp$ 平面 $PAB$，故 $l\perp OA$ 且 $l\perp OB$。根据二面角平面角的定义， $\angle AOB$ 即为二面角 $\alpha -l-\beta$ 的平面角，大小为 60°。
3. 利用平面几何特征解题：
   • 在平面四边形 $OAPB$ 中，由于 $\angle OAP=\angle OBP=90^{\circ }$，其对角互补。因此， $\angle APB=180^{\circ }-\angle AOB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$。
   • 此时在 $△PAB$ 中，已知两邻边 $PA=4,PB=2$ 及其夹角 $\angle APB=120^{\circ }$，直接套用余弦定理即可求出对边 $AB$ 的长度。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：空间位置向垂直截面的等价转化 因为 $PA\perp$ 平面 $\alpha$，而二面角的棱 $l\subset$ 平面 $\alpha$，根据线面垂直的定义可知： $PA\perp l$ 同理，因为 $PB\perp$ 平面 $\beta$，且棱 $l\subset$ 平面 $\beta$，可知： $PB\perp l$

由于直线 $PA$ 与 $PB$ 是相交直线，且它们同时垂直于直线 $l$，根据直线与平面垂直的判定定理可知，棱 $l$ 严格垂直于由这两条割线所确定的空间平面： $l\perp \text{平面 }PAB$

第二步：确定平面四边形的夹角特征 设平面 $PAB$ 与二面角的棱 $l$ 交于定点 $O$，顺次连接 $OA,OB$。 因为 $l\perp$ 平面 $PAB$，且 $OA,OB\subset$ 平面 $PAB$，所以： $l\perp OA\text{且}l\perp OB$

根据二面角的平面角定义， $\angle AOB$ 即为二面角 $\alpha -l-\beta$ 的平面角。已知二面角大小为 60°，故： $\angle AOB=60^{\circ }$

在同一二维截面平面内的平面四边形 $OAPB$ 中： 因为 $PA\perp OA⟹\angle OAP=90^{\circ }$， $PB\perp OB⟹\angle OBP=90^{\circ }$。 根据平面四边形内角和定理（$360^{\circ }$）或对角互补性质： $\angle APB=180^{\circ }-\angle AOB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

第三步：利用余弦定理计算 $AB$ 长度 连接 $AB$，聚焦于截面内的非直角三角形 $△PAB$： 已知两邻边边长为 $PA=4,PB=2$，它们的夹角为 $\angle APB=120^{\circ }$。 根据平面斜三角形的余弦定理，对边 $AB$ 的等解式为： $A{B}^2=P{A}^2+P{B}^2-2\cdot PA\cdot PB\cdot \cos \angle APB$

代入具体的代数数值进行控算，注意 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$： $A{B}^2=4^2+2^2-2\times 4\times 2\times \cos 120^{\circ }$ $A{B}^2=16+4-16\times \left(-\frac{1}{2}\right)$ $A{B}^2=20+8=28$

对结果开平方根，由于长度取正值： $AB=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由两线垂直转化线面垂直的射影原理；二面角平面角的规范几何判定法；共面多边形对角互补性质的应用；平面三角形余弦定理的解析控算。
2. 核心方法：垂直截面化归法、余弦定理代入法。
3. 避坑指南：
   • 错将顶角 $\angle APB$ 直接当作 60°：部分学生空间想象力不足，错把二面角的平面角 60° 强行按挪给 $\angle APB$。必须牢记由垂直带来的对角互补法则，四边形中两个直角占了 $180^{\circ }$，剩下两个角之和必须是 $180^{\circ }$，故其夹角为钝角 $120^{\circ }$。
   • 余弦定理变项符号弄错：在代数控算中，由于 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 为负数，公式自带的减号与其相乘变为加号（即 $-2ab\cos \theta \to +ab$），极易因为粗心错算成减法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查立体几何“面面射影法与点线距离控制”的最标准大纲经典选择题，属于中等难度常规题。
2. 结论推广: 从点 $P$ 向二面角 $\theta$ 的两个面分别作垂线，垂足为 $A,B$，则 $AB=\sqrt{P{A}^2+P{B}^2+2\cdot PA\cdot PB\cdot \cos \theta }$（两垂线夹角与二面角互补，$\cos$ 前的符号需结合具体位置确定）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1955-全国-01 解-四小问综合（韦达余弦棱锥定义）
• 1977-北京文-08 解-余弦定理测距
• 1989-广东文-04 单-二面角的定义