2004-重庆理-02 单-复数与代数运算

本题导读

本题考查复数的概念与代数运算，以及构造一元二次方程降维法。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 设复数 $Z=1+\sqrt{2}\text{i}$，则 $Z^2-2Z=$ ()

A. $-3$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $-3\text{i}$　　　　　　　D. $3\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解法一（直接代入法）：直接将 $Z=1+\sqrt{2}\text{i}$ 代入目标式 $Z^2-2Z$ 中。利用完全平方公式展开 $Z^2$，再展开 $-2Z$，最后合并实部与虚部。牢记 ${\text{i}}^2=-1$。
2. 解法二（整体降维法）：观察目标式 $Z^2-2Z$，其极像某个一元二次多项式的左端。将已知条件 $Z=1+\sqrt{2}\text{i}$ 移项变形为 $Z-1=\sqrt{2}\text{i}$，两边同时平方消去虚数单位 $\text{i}$，即可直接实现整体代换。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：直接代入代数化简法 将 $Z=1+\sqrt{2}\text{i}$ 直接代入待求代数式 $Z^2-2Z$ 中： $Z^2-2Z=(1+\sqrt{2}\text{i}{)}^2-2(1+\sqrt{2}\text{i})$

利用完全平方公式展开第一项，注意 ${\text{i}}^2=-1$： $(1+\sqrt{2}\text{i}{)}^2=1^2+2\times 1\times \sqrt{2}\text{i}+(\sqrt{2}\text{i}{)}^2=1+2\sqrt{2}\text{i}-2=-1+2\sqrt{2}\text{i}$ 展开第二项分配律： $-2(1+\sqrt{2}\text{i})=-2-2\sqrt{2}\text{i}$

将两部分组合进行项的合并： $Z^2-2Z=(-1+2\sqrt{2}\text{i})+(-2-2\sqrt{2}\text{i})$ 实部与实部相加，虚部与虚部相消： $Z^2-2Z=(-1-2)+(2\sqrt{2}-2\sqrt{2})\text{i}=-3$

解法二：参数移项平方降维法（整体代换法） 已知： $Z=1+\sqrt{2}\text{i}$ 将实数项 1 移项至等号左侧，使虚数项在右侧孤立： $Z-1=\sqrt{2}\text{i}$ 两边同时进行平方： $(Z-1{)}^2=(\sqrt{2}\text{i}{)}^2$ 展开左端完全平方式，并化简右端虚数项： $Z^2-2Z+1=2{\text{i}}^2⟹Z^2-2Z+1=-2$ 将左端的常量 1 移项至右侧，直接锁定目标表达式的整体数值： $Z^2-2Z=-2-1=-3$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位性质 ${\text{i}}^2=-1$；复数多元式的基本四则混合运算；整体代数换元与方程降维思想。
2. 核心方法：完全平方公式展开法、移项消虚整体代换法。
3. 避坑指南：
   • 完全平方展开时虚部漏掉 $\text{i}$ 或符号弄错：在展开 $(\sqrt{2}\text{i}{)}^2$ 时，许多学生粗心漏掉 ${\text{i}}^2=-1$ 的负号反转，错算成 $+2$，导致整个实部偏离。
   • 方法二移项时忘记平方规律：利用方法二时，必须先将实部移项、让虚部单独留在右侧再平方。若直接对原式 $Z=1+\sqrt{2}\text{i}$ 两边平方，右侧依然会混有虚数项，无法达到直接脱去虚数单位的目的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查复数基础运算的大纲经典选择题第二题，属于低难度送分题。
2. 结论推广: 复数 $Z=a+b\text{i}$ 满足 $Z^2-2aZ+(a^2+b^2)=0$（以 $Z$ 及其共轭为根的一元二次方程），据此可把 $Z$ 的高次幂降次化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 1986-全国文-12 填-复数的运算
• 1987-广东文-26 填-复数的共轭