2004-重庆理-01 单-函数定义域

本题导读

本题考查函数定义域的求法，以及对数函数的单调性与定义域。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 函数 $y=\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(3x-2)}$ 的定义域是 ()

A. $[1,+\infty )$　　B. $\left(\frac{2}{3},+\infty \right)$　　C. $\left[\frac{2}{3},1\right]$　　D. $\left(\frac{2}{3},1\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立复合函数的约束不等式组：
   • 偶次根式约束：根号下的被开方数必须大于或等于零，即 ${\log }_{\frac{1}{2}}(3x-2)\ge 0$。
   • 对数真数约束：对数函数的真数部分必须严格大于零，即 $3x-2>0$。
2. 利用对数单调性解不等式组：由于对数底数为 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，该对数函数在定义域内严格单调递减。将 $0$ 变形为 ${\log }_{\frac{1}{2}}1$，去掉对数符号时需要翻转不等号方向，以此夹逼出 $x$ 的范围。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

要使函数 $y=\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(3x-2)}$ 有意义，自变量 $x$ 必须同时满足以下两个数学硬性约束： $\{\begin{array}{l}{\log }_{\frac{1}{2}}(3x-2)\ge 0\text{（根式非负约束）}\\ 3x-2>0\text{（对数真数正值约束）}\end{array}$

1. 求解第一个不等式： 将 0 改写为以 $\frac{1}{2}$ 为底的对数形式： ${\log }_{\frac{1}{2}}1=0$。 ${\log }_{\frac{1}{2}}(3x-2)\ge {\log }_{\frac{1}{2}}1$ 因为底数 $a=\frac{1}{2}<1$，对数函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}t$ 是减函数。 去掉对数符号，不等号方向发生翻转： $3x-2\le 1⟹3x\le 3⟹x\le 1$

2. 求解第二个不等式： $3x-2>0⟹3x>2⟹x>\frac{2}{3}$

综合上述两个核心约束条件，求其交集可得： $\frac{2}{3}<x\le 1$

用区间形式表达，该函数的定义域为 $\left(\frac{2}{3},1\right]$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶次根式下表达式的非负限制；对数真数严格为正的定义域限制；底数小于 1 的对数函数单调性应用。
2. 核心方法：一元一次不等式组解集交集法。
3. 避坑指南：
   • 漏掉对数真数大于 0 的隐含前提：多数学生只注意到根号下需要大于等于 0 算出 $x\le 1$，从而错选 A。做任何涉及对数的题目，必须第一步强制写出真数大于 0，防止边界泄露。
   • 分不清开闭区间边界：注意对数真数 $3x-2>0$ 是不包含等号的（严格大于），故其左边界 $\frac{2}{3}$ 必须是开区间圆括号；而根式非负可以取到 0（等号成立），故其右边界 1 必须是闭区间方括号，防止错选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查初等函数（幂函数与对数函数拓扑复合）定义域的经典大纲第一题，属于常规送分题。
2. 结论推广: 本题模型属于通用的运算定义域截断模型。一般地，对于形如 $y=\sqrt{{\log }_a\varphi (x)}$ 的复合函数，其自变量的生存空间完全由底数 $a$ 的度量区间分类决定：当 $a>1$ 时，定义域交集为 $\varphi (x)\ge 1$；当 $0<a<1$ 时，定义域被强制确定在双侧夹逼区间 $0<\varphi (x)\le 1$ 内。这一复合不等式的区间嵌套机制在高等数学的初等实分析与连续性边界判定中是万代不变的核心工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1985-上海文-13 单-对数函数的定义域
• 1985-上海理-13 单-对数函数的定义域