2004-辽宁卷-22 解-反函数与定义域

本题导读

本题考查反函数的求解与定义域。核心在于反解代换法、不等式等价转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 已知函数 $f(x)=\ln ({\text{e}}^x+a)(a>0)$.

(1) 求函数 $y=f(x)$ 的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 及 $f(x)$的导数 $f^{\prime }(x)$；

(2) 假设对任意 $x\in [\ln (3a),\ln (4a)]$，不等式 $|m-f^{-1}(x)|+\ln (f^{\prime }(x))<0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（第(1)问求解）：
   • 求反函数：由 $y=\ln ({\text{e}}^x+a)$ 移项得 ${\text{e}}^y={\text{e}}^x+a⟹{\text{e}}^x={\text{e}}^y-a$。两边取对数解出 $x=\ln ({\text{e}}^y-a)$。再将 $x,y$ 互换。由 ${\text{e}}^x>0⟹{\text{e}}^y-a>0⟹y>\ln a$，确定反函数的定义域。
   • 求导数：套用复合函数求导公式 $[\ln u{]}^{\prime }=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }$，直接写出 $f^{\prime }(x)$。
2. 第二步逻辑（第(2)问不等式结构重构）：
   • 将已求出的 $f^{-1}(x)=\ln ({\text{e}}^x-a)$ 和 $f^{\prime }(x)=\frac{{\text{e}}^x}{{\text{e}}^x+a}$ 代入目标不等式中。
   • 不等式移项变形为 $|m-\ln ({\text{e}}^x-a)|<-\ln \left(\frac{{\text{e}}^x}{{\text{e}}^x+a}\right)=\ln \left(\frac{{\text{e}}^x+a}{{\text{e}}^x}\right)=\ln \left(1+a{\text{e}}^{-x}\right)$。
   • 利用绝对值不等式性质 $|x|<R⟹-R<x<R$ 将其拆解为对偶的双向不等式组，并将未知数 $m$ 隔离在中间。
3. 第三步逻辑（双侧函数单调性分析与最值卡位）：
   • 得到 $g_1(x)<m<g_2(x)$ 形式。要使其在给定闭区间上恒成立，必须满足 $m$ 严格大于左侧函数在区间的最大值，且严格小于右侧函数在区间的最小值。
   • 分别对两侧关于 $x$ 的复合函数进行求导或者利用初等函数复合性质分析其单调性，计算端点值，求出最值并取交集。

✅【答案】

Success

(1) $f^{-1}(x)=\ln \left({\mathrm{e}}^x-a\right)$，$f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+a}$

(2) $m\in \left(\ln \left(\frac{12}{5}a\right),\ln \left(\frac{8}{3}a\right)\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求反函数 $y=f^{-1}(x)$ 及导数 $f^{\prime }(x)$

• 求解反函数： 已知原函数方程为： $y=\ln ({\text{e}}^x+a)\text{（式1）}$ 对（式1）两边施加底数为 $\text{e}$ 的指数运算以脱去对数号： ${\text{e}}^y={\text{e}}^x+a\text{（式2）}$ 将（式2）中的未知线性项 ${\text{e}}^x$ 隔离在等号一侧： ${\text{e}}^x={\text{e}}^y-a\text{（式3）}$ 由于在实数定义域内，指数底数幂恒大于零，即 ${\text{e}}^x>0$，代入（式3）可引出关于因变量 $y$ 的刚性度量阈值： ${\text{e}}^y-a>0⟹{\text{e}}^y>a⟹y>\ln a\text{（式4）}$ 在满足（式4）的前提下，对（式3）两边取自然对数解出自变量 $x$： $x=\ln ({\text{e}}^y-a)\text{（式5）}$ 将（式5）中的自变量 $x$ 与因变量 $y$ 进行刚性互换，并附带其（式4）演化出的完整定义域，输出目标反函数： $y=f^{-1}(x)=\ln ({\text{e}}^x-a)(\text{定义域为 }x>\ln a)$

• 求解导函数： 对原函数（式1）应用复合函数链式求导法则： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\text{e}}^x+a}\cdot ({\text{e}}^x+a{)}^{\prime }=\frac{{\text{e}}^x}{{\text{e}}^x+a}$

(2) 求实数 $m$ 的取值范围 将第 (1) 问求得的两个核心函数解析式直接代入题目给定的全称恒成立不等式中： $\left|m-\ln ({\text{e}}^x-a)\right|+\ln \left(\frac{{\text{e}}^x}{{\text{e}}^x+a}\right)<0\text{（式6）}$ 将（式6）右侧的对数分式项移到等号右侧，并利用对数的负幂次恒等性质性质化简： $\left|m-\ln ({\text{e}}^x-a)\right|<-\ln \left(\frac{{\text{e}}^x}{{\text{e}}^x+a}\right)=\ln \left(\frac{{\text{e}}^x+a}{{\text{e}}^x}\right)=\ln \left(1+a{\text{e}}^{-x}\right)\text{（式7）}$

根据绝对值去模法则（$|u|<R⟺-R<u<R$），将（式7）的复杂不等式等价双向展宽： $-\ln \left(1+a{\text{e}}^{-x}\right)<m-\ln ({\text{e}}^x-a)<\ln \left(1+a{\text{e}}^{-x}\right)\text{（式8）}$ 对不等式（式8）三端同时加上对数项 $\ln ({\text{e}}^x-a)$，将未知参数 $m$ 完整隔离在正中心： $\ln ({\text{e}}^x-a)-\ln \left(1+a{\text{e}}^{-x}\right)<m<\ln ({\text{e}}^x-a)+\ln \left(1+a{\text{e}}^{-x}\right)\text{（式9）}$

利用对数的加减乘除合并法则，对（式9）的左、右两侧函数分别进行结构化简：

• 对左侧边界函数 $g_1(x)$： $g_1(x)=\ln \left[\frac{{\text{e}}^x-a}{1+a{\text{e}}^{-x}}\right]=\ln \left[\frac{{\text{e}}^x-a}{1+\frac{a}{{\text{e}}^x}}\right]=\ln \left[\frac{{\text{e}}^x-a}{\frac{{\text{e}}^x+a}{{\text{e}}^x}}\right]=\ln \left[\frac{{\text{e}}^x({\text{e}}^x-a)}{{\text{e}}^x+a}\right]\text{（式10）}$
• 对右侧边界函数 $g_2(x)$： $g_2(x)=\ln \left[({\text{e}}^x-a)\left(1+\frac{a}{{\text{e}}^x}\right)\right]=\ln \left[({\text{e}}^x-a)\cdot \frac{{\text{e}}^x+a}{{\text{e}}^x}\right]=\ln \left[\frac{({\text{e}}^x{)}^2-a^2}{{\text{e}}^x}\right]=\ln \left[{\text{e}}^x-a^2{\text{e}}^{-x}\right]\text{（式11）}$

原不等式组（式9）等价重构为统一的夹逼控制形式： $g_1(x)<m<g_2(x)\text{（式12）}$ 要使（式12）在闭区间 $x\in [\ln (3a),\ln (4a)]$ 上对任意自变量恒成立，根据区间极值界限原理，参数 $m$ 的拓扑范围由以下边界方程组刚性确定： $\{\begin{array}{l}m>g_1(x{)}_{\text{max}}\\ m<g_2(x{)}_{\text{min}}\end{array}\text{（式13）}$

为降低求导计算量，令中间过渡特征元 $t={\text{e}}^x$． 由于自变量满足 $\ln (3a)\le x\le \ln (4a)$，通过指数映射，新元 $t$ 的有界闭区间定义域为： $t\in [3a,4a]\text{（式14）}$

• 第一步：分析左侧函数 $g_1(x)$ 的最大值 将新元 $t$ 代入（式10）内部的真数图形中，记为函数 $h_1(t)$： $h_1(t)=\frac{t(t-a)}{t+a}=\frac{t^2-at}{t+a}\text{（式15）}$ 对分式函数（式15）关于 $t$ 进行导数分析： $h_1^{\prime }(t)=\frac{(2t-a)(t+a)-(t^2-at)\cdot 1}{(t+a{)}^2}=\frac{2t^2+2at-at-a^2-t^2+at}{(t+a{)}^2}=\frac{t^2+2at-a^2}{(t+a{)}^2}\text{（式16）}$ 在区间 $t\in [3a,4a]$ 上，由于参数 $a>0$，分子项恒满足： $t^2+2at-a^2\ge (3a{)}^2+2a(3a)-a^2=9a^2+6a^2-a^2=14a^2>0\text{（式17）}$ 由于导数（式16）在区间上恒严格大于 0，真数函数 $h_1(t)$ 属于标准的单调递增函数。 由于外层自然对数严格单调递增，复合函数 $g_1(x)$ 同样在区间内单调递增。 其最大值必定在右端点 $t=4a$ 处取得： $g_1(x{)}_{\text{max}}=\ln h_1(4a)=\ln \left[\frac{4a(4a-a)}{4a+a}\right]=\ln \left[\frac{4a\cdot 3a}{5a}\right]=\ln \left(\frac{12}{5}a\right)\text{（式18）}$

• 第二步：分析右侧函数 $g_2(x)$ 的最小值 同样将新元 $t$ 代入（式11）内部的真数图形中，记为函数 $h_2(t)$： $h_2(t)=t-\frac{a^2}{t}\text{（式19）}$ 由于单项特征基底 $y_1=t$ 在 $t>0$ 时单调递增，而减项 $y_2=-\frac{a^2}{t}$ 同样单调递增（双目叠加），或者直接由导数 $h_2^{\prime }(t)=1+\frac{a^2}{t^2}>0$ 恒成立。 这断定真数函数 $h_2(t)$ 在实数域正半轴上严格单调递增。 因此，复合函数 $g_2(x)$ 同样在区间内单调递增。 其最小值必定在左端点 $t=3a$ 处取得： $g_2(x{)}_{\text{min}}=\ln h_2(3a)=\ln \left[3a-\frac{a^2}{3a}\right]=\ln \left[3a-\frac{1}{3}a\right]=\ln \left(\frac{8}{3}a\right)\text{（式20）}$

• 第三步：汇总并提取交意空间范围 将计算得出的最值边界（式18）与（式20）代回主控制不等式组（式13）中： $\{\begin{array}{l}m>\ln \left(\frac{12}{5}a\right)\\ m<\ln \left(\frac{8}{3}a\right)\end{array}⟹\ln \left(\frac{12}{5}a\right)<m<\ln \left(\frac{8}{3}a\right)\text{（式21）}$ 由于常数分值满足大小关系： $\frac{12}{5}=2.4<\frac{8}{3}\approx 2.67$，上确界严格大于下确界，该区间范围真实有效。

答：实数 $m$ 的取值范围是 $\left(\ln \left(\frac{12}{5}a\right),\ln \left(\frac{8}{3}a\right)\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数方程构建及严格对数定义域的界定；对数多项式化简法则（$\ln A\pm \ln B$ 的项合并）；换元法 $t={\text{e}}^x$ 在闭区间单调性分析中的降维运用。
2. 核心方法：换元法、分离参数法、导数单调性法。
3. 避坑指南：
   • 第(2)问在化简对数不等式组时，极其容易因为多项式展开顺序混乱，导致漏掉系数或者变号笔误：例如在化简 $\ln ({\text{e}}^x-a)-\ln (1+a{\text{e}}^{-x})$ 时，如果不习惯把 ${\text{e}}^{-x}$ 写作 $\frac{1}{{\text{e}}^x}$ 并进行通分，直接求导将会面对极其冗长繁琐的分式复合求导，运算量飙升 3 倍以上，极易引发算术崩溃。请牢记解析几何与超越函数化简铁律：凡是看到式子中同时出现‘正指数项 ${\text{e}}^x$’与‘负指数项 ${\text{e}}^{-x}$’，第一核心动作必须是强行将负指数项全部化为分式分母并进行整体通分，使真数部分整合成标准的整式乘积比值。通过写明（式10）和（式11）的化简过渡，可将后续求导的复杂度降到零，确保在考场有限时间内拿到满分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 反函数的求法与导数的运算，考查对数型函数求反函数及导数。
2. 结论推广: 求 $y=f(x)$ 的反函数，先反解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式，再互换 $x$、$y$ 并注明定义域；$y=\ln (e^x+a)$ 的反函数为 $y=\ln (e^x-a)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-03 单-函数的定义域
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性