2004-辽宁卷-20 解-求函数解析式

本题导读

本题考查函数解析式的构建，以及利用换元法和导数求最值。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 $x$ (元) 与年产量 $t$ (吨) 满足函数关系 $x=2000\sqrt{t}$.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 $s$ 元 (以下称 $s$ 为赔付价格).

(1) 将乙方的年利润 $w$ (元) 表示为年产量 $t$ (吨) 的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

(2) 甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 $y=0.002t^2$ (元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格 $s$ 是多少?

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问建立利润函数：
   • 乙方原利润为 $2000\sqrt{t}$，每生产一吨赔付 $s$ 元，总赔付 $st$ 元；
   • 实际年利润 $w(t)=2000\sqrt{t}-st(t\ge 0)$；
   • 令 $u=\sqrt{t}(u\ge 0)$，则 $w=-s{u}^2+2000u$，开口向下，由对称轴求最大利润对应的 $u$ 及 $t$。
2. 第(2)问建立甲的收益函数：
   • 甲方赔付收入为 $st$ 元，经济损失为 $0.002t^2$ 元；
   • 甲方的净收入 $W_{\text{甲}}=st-0.002t^2$；
   • 乙方按最大利润产量生产，把第(1)问的 $t(s)$ 代入甲的净收入，化为关于 $s$ 的一元函数。
3. 求最优价格 $s$：对所得函数求导或换元求最值。

✅【答案】

Success

(1) $w(t)=2000\sqrt{t}-st$（$t\ge 0$），乙方获得最大利润的年产量为 $t=\frac{10^6}{s^2}$；

(2) $s=20$ 元

✍【详细解析】

Abstract

(1) 将乙方的年利润 $w$ 表示为年产量 $t$ 的函数，并求最优产量 乙方不赔付时的原始利润为 $2000\sqrt{t}$ 元，引入赔付价格 $s$ 后，生产 $t$ 吨的总成本为 $s\cdot t$ 元，故年利润函数为： $w=2000\sqrt{t}-st(t\ge 0)\text{（式1）}$

令 $u=\sqrt{t}$（$t\ge 0⟹u\ge 0$）： $w(u)=-s{u}^2+2000u\text{（式3）}$

因 $s>0$，该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值： $u_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2000}{2(-s)}=\frac{1000}{s}\text{（式4）}$ 因 $s>0$，$u_0=\frac{1000}{s}>0$，满足定义域。

代回 $u=\sqrt{t}$，得最优年产量： $t=u_0^2={\left(\frac{1000}{s}\right)}^2=\frac{10^6}{s^2}\text{（式5）}$

(2) 求甲方获得最大净收入时的最优赔付价格 $s$ 甲方的赔付收入为 $st$ 元，经济损失为 $y=0.002t^2$ 元，故净收入为： $V=st-0.002t^2\text{（式6）}$

乙方按最优产量（式5）生产，把 $t=\frac{10^6}{s^2}$ 代入（式6）消去 $t$： $V(s)=s\cdot \left(\frac{10^6}{s^2}\right)-0.002\cdot {\left(\frac{10^6}{s^2}\right)}^2\text{（式7）}$ 化简： $V(s)=\frac{10^6}{s}-0.002\cdot \frac{10^{12}}{s^4}=\frac{10^6}{s}-\frac{2\times 10^9}{s^4}\text{（式8）}$

令 $z=\frac{1}{s}$（$s>0⟹z>0$）： $V(z)=10^6\cdot z-2\times 10^9\cdot z^4\text{（式10）}$

求导： $V^{\prime }(z)=10^6-8\times 10^9\cdot z^3\text{（式11）}$ 令 $V^{\prime }(z)=0$： $10^6-8\times 10^9\cdot z^3=0⟹8\times 10^9\cdot z^3=10^6\text{（式12）}$ $z^3=\frac{10^6}{8\times 10^9}=\frac{1}{8\times 10^3}=\frac{1}{8000}\text{（式13）}$ $z=\sqrt[3]{\frac{1}{8000}}=\frac{1}{20}\text{（式14）}$

判断单调性：当 $0<z<\frac{1}{20}$ 时 $z^3<\frac{1}{8000}$，$V^{\prime }(z)>0$，$V(z)$ 递增；当 $z>\frac{1}{20}$ 时 $V^{\prime }(z)<0$，$V(z)$ 递减。故 $z=\frac{1}{20}$ 处取得最大值。

代回 $z=\frac{1}{s}$： $s=\frac{1}{z}=\frac{1}{1/20}=20$

答：甲方应向乙方要求的赔付价格 $s$ 为 20 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参利润函数的最值；两主体决策下的复合函数最值；用导数求极值。
2. 核心方法：换元法、导数法。
3. 避坑指南：
   • 第(2)问误对 $t$ 求导：若把 $s$ 当常数，对 $V=st-0.002t^2$ 关于 $t$ 求导，会得 $s-0.004t=0⟹t=250s$，与第(1)问矛盾。注意本题决策主体是甲方（制定价格 $s$），乙方只是按价格调整产量的响应者，产量 $t$ 本质上是关于 $s$ 的函数 $t=t(s)$，须先把第(1)问的响应关系代入，把甲方的净收入化为关于 $s$ 的一元函数再求导。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查从实际问题建立函数模型并求最值。
2. 结论推广: 实际问题求最值，先依题意列出目标函数并确定自变量的取值范围，再用导数或二次函数等方法求最值；注意结果需满足实际意义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积
• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1977-辽宁-06 解-二次函数最值