2004-辽宁卷-16 填-古典概型与组合数计算

本题导读

本题考查古典概型与组合数计算，以及互斥事件的概率加法公式。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 口袋内装有 10 个相同的球，其中 5 个球标有数字 0， 5 个球标有数字 1，若从袋中摸出 5 个球，那么摸出的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是 $\underline{}$.（以数值作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（消元目标状态对应的摸球方案）：设摸出的 5 个球中，标有数字 1 的球有 $k$ 个，则标有数字 0 的球必然有 $(5-k)$ 个。显然，这 5 个球所标数字之和严格等于数字 1 的个数 $k$。由于总共摸出 5 个球， $k$ 的可能取值范围为 $\{0,1,2,3,4,5\}$．
2. 第二步逻辑（转化题干的范围限制）：题目要求的事件为“数字之和小于 2 或大于 3”．
   • 正向求解路径：这意味着 $k<2$ 或 $k>3$，即 $k$ 可以取 $0,1,4,5$ 四种情况．
   • 逆向排除路径（推荐）：该事件的对立面即为 $2\le k\le 3$，也就是数字之和严格等于 2 或 3。由于只需计算 2 种情况，采用对立事件做减法运算量更小。
3. 第三步逻辑（套用组合数进行古典概型计算）：总的摸球方法数为从 10 个球中任取 5 个，即 $C_{10}^5$。利用超几何分布计数模型，分别求出各分类对应的组合数分配，最后作差或加和输出精确的分数值。

✅【答案】

Success

$\frac{13}{63}$

✍【详细解析】

Abstract

• 定义状态变量与古典概型总样本空间 $N_{\text{total}}$ 袋内共有 10 个相同的球，其中 5 个标有“0”， 5 个标有“1”．从袋中一次性随机摸出 5 个球。 总的等可能摸球方案数（总基本事件数）为： $N_{\text{total}}=C_{10}^5=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=252\text{（式1）}$

• 将数字之和转化为数字“1”的摸出个数 $k$ 设摸出的 5 个球中，标有数字 1 的球共有 $k$ 个，则标有数字 0 的球为 $(5-k)$ 个。 这 5 个球所标数字之和为： $\text{数字之和}=k\times 1+(5-k)\times 0=k\text{（式2）}$

  题目要求的目标事件为“数字之和小于 2 或大于 3”，根据（式2），其等价于： $k\in \{0,1,4,5\}\text{（式3）}$ 为了减少计算量，我们考虑该事件的对立事件（记为事件 $\bar{M}$），其代数补集范围为： $k\in \{2,3\}\text{（式4）}$

• 利用超几何分布计数模型计算对立事件的方案数

  • 分支一：当 $k=2$ 时（即摸出 2 个“1”和 3 个“0”）： 其对应的组合数方法为： $N(k=2)=C_5^2\cdot C_5^3=\frac{5\times 4}{2\times 1}\times \frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10\times 10=100\text{（式5）}$
  • 分支二：当 $k=3$ 时（即摸出 3 个“1”和 2 个“0”）： 由对称性或直接计算可知： $N(k=3)=C_5^3\cdot C_5^2=10\times 10=100\text{（式6）}$

  由于这两个分支在离散空间内完全互斥，对立事件 $\bar{M}$ 的总合法方法数为： $N_{\text{adjacent}}=N(k=2)+N(k=3)=100+100=200\text{（式7）}$

• 运用古典概型与对立事件减法法则求解目标概率 $P(M)$ 根据古典概型公式，对立事件的概率为： $P(\bar{M})=\frac{N_{\text{adjacent}}}{N_{\text{total}}}=\frac{200}{252}=\frac{50}{63}\text{（式8）}$

  根据对立事件减法方程，目标事件的最终概率为： $P(M)=1-P(\bar{M})=1-\frac{50}{63}=\frac{13}{63}\text{（式9）}$

(注：若采用正向求解，计算 $k=0,1,4,5$ 的方案数之和同样为 $C_5^0{C}_5^5+C_5^1{C}_5^4+C_5^4{C}_5^1+C_5^5{C}_5^0=1\times 1+5\times 5+5\times 5+1\times 1=1+25+25+1=52$。目标概率为 $\frac{52}{252}=\frac{13}{63}$，两路径结果完全等价全等。)

填空题最终答案为： $\frac{13}{63}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型组合数分流计数；对立事件概率转化运算 $P=1-P^{\prime }$；超几何分布模型 $C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}$ 的代数化简。
2. 核心方法：间接对立排除法（正难则反）、正向分类穷举法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在计算组合数大数时，由于草稿纸书写混乱发生低级算术笔误：例如误将 $C_{10}^5$ 算错，或者是错把 $C_5^2\times C_5^3$ 的乘号算成了加号（从而得出 $10+10=20$）。请牢记组合数计算铁律：分子、分母的展开项数必须完整对齐（如 $C_{10}^5$ 上下各写 5 个数），且在计算分量积时，‘同时选出两类球’属于前后级联的分步动作，无条件应用乘法原理，绝对不能写成加法。通过多花 2 秒钟核对乘除法步骤，可确保古典概型分数结果绝对精确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出处为高中数学教材“古典概型与超几何分布”章节关于摸球概率换算的最标准核心期末考试压轴填空题，是高考考查离散组合计数基本功最典型的常规中档得分题。
2. 结论推广: 一般地，设总容量为 $2n$ 的有界多重集合内包含两种度量完全均等的特征元素各 $n$ 个。若从中一次性无放回摸出 $n$ 个元素，要求某一特征元素出现的频数 $k$ 满足两端有界截断边界 $k<m$ 或 $k>n-m(m\le n/2)$．根据度量恒等性质与超几何分布的对称规约，该复合事件在样本空间内的全局概率封闭解由以下组合数齐次映射完整确定： $P=\frac{2\cdot {\sum }_{i=0}^{m-1}{C}_n^i{C}_n^{n-i}}{C_{2n}^n}\equiv 1-\frac{2\cdot {\sum }_{i=m}^{\lfloor n/2\rfloor }{C}_n^i{C}_n^{n-i}-{\mathbb{I}}_{\{n\text{ is even}\}}\cdot (C_n^{n/2}{)}^2}{C_{2n}^n}$ ［此处特化为范德蒙恒等式（Vandermonde’s Identity）的局部切片］。本题即为该通用离散概率图形在 $n=5,m=2$ 条件下的直接算术特例（此时 $i$ 只能取 0 和 1）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-07 填-古典概型的概率
• 1998-上海理-07 填-古典概型的概率
• 2000-新课标卷文-17 解-古典概型的抽取问题