2004-辽宁卷-15 填-空间中直线与平面的距离

本题导读

本题考查空间中直线与平面的距离，以及斜棱柱的几何性质。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 如图，四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的底面 $ABCD$ 为正方形，侧棱与底面边长均为 $2a$，且 $\angle A_{1}AD=\angle A_{1}AB=60^{\circ }$，则侧棱 $A{A}_1$ 和截面 $B_1{D}_{1}DB$ 的距离是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 线面距退化为点面距。侧棱 $A{A}_1\parallel B{B}_1$，而 $B{B}_1\subset$ 平面 $B_1{D}_{1}DB$，故 $A{A}_1\parallel$ 平面 $B_1{D}_{1}DB$，两者距离等于点 $A$ 到该平面的距离。
2. 先定 $A_1$ 在底面的射影位置。$\angle A_{1}AB=\angle A_{1}AD=60^{\circ }$，又 $AB=AD=A{A}_1=2a$，故 $△A_{1}AB$、$△A_{1}AD$ 都是边长为 $2a$ 的正三角形，得 $A_{1}A=A_{1}B=A_{1}D=2a$。一点到不共线三点等距，其射影就是这三点所成三角形的外心；$△ABD$ 在 $A$ 处成直角，外心为斜边 $BD$ 的中点，即正方形中心 $O$。于是 $AO=\sqrt{2}a$，$A_{1}O=\sqrt{4a^2-2a^2}=\sqrt{2}a$，且 $A_{1}O\perp$ 底面。
3. 找与截面垂直的那个面。底面是正方形，$BD\perp AC$；又 $BD\perp A_{1}O$，故 $BD\perp$ 平面 $A_{1}AC$。截面含 $BD$，所以截面 $\perp$ 平面 $A_{1}AC$，两面的交线 $\ell$ 过 $O$ 且与 $A{A}_1$ 平行。
4. 降维到平面内。由面面垂直的性质，$d(A,\text{截面})=d(A,\ell )$，而这段距离整个躺在平面 $A_{1}AC$ 里：$△AO{A}_1$ 中 $AO=A_{1}O=\sqrt{2}a$ 且 $A_{1}O\perp AO$，是等腰直角三角形，$\ell$ 与 $AO$ 成 $45^{\circ }$，故 $d=AO\sin 45^{\circ }=a$。

✅【答案】

Success

$a$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：把线面距离换成点面距离 棱柱中 $A{A}_1\parallel B{B}_1$，且 $B{B}_1\subset$ 平面 $B_1{D}_{1}DB$，由线面平行的判定得 $A{A}_1\parallel$ 平面 $B_1{D}_{1}DB$。 一条直线平行于一个平面时，直线上每个点到该平面的距离都相等，故所求即点 $A$ 到平面 $B_1{D}_{1}DB$ 的距离 $d$。

• 第二步：确定 $A_1$ 的位置 由 $AB=AD=A{A}_1=2a$ 与 $\angle A_{1}AB=\angle A_{1}AD=60^{\circ }$，$△A_{1}AB$、$△A_{1}AD$ 均为正三角形，所以 $A_{1}A=A_{1}B=A_{1}D=2a$ 设 $A_1$ 在底面 $ABCD$ 内的射影为 $H$，则 $HA=HB=HD$，即 $H$ 是 $△ABD$ 的外心。$△ABD$ 中 $\angle BAD=90^{\circ }$，外心落在斜边 $BD$ 的中点，也就是正方形的中心 $O$，故 $H=O,AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}a$ 在 $\mathrm{Rt}△AO{A}_1$ 中 $A_{1}O=\sqrt{A{A}_1^2-A{O}^2}=\sqrt{4a^2-2a^2}=\sqrt{2}a$，且 $A_{1}O\perp$ 底面。

• 第三步：把截面立到一个垂直面上 正方形对角线 $BD\perp AC$；又 $BD\perp A_{1}O$（$A_{1}O\perp$ 底面），$AC$ 与 $A_{1}O$ 是平面 $A_{1}AC$ 内的相交直线，故 $BD\perp \text{平面 }{A}_{1}AC$ 截面 $B_1{D}_{1}DB$ 含 $BD$，故截面 $\perp$ 平面 $A_{1}AC$。又 $A{A}_1\parallel$ 截面，且 $A{A}_1\subset$ 平面 $A_{1}AC$、$O\in$ 平面 $A_{1}AC$，可设 $\ell$ 为平面 $A_{1}AC$ 内过 $O$ 且与 $A{A}_1$ 平行的直线，则 $\ell$ 就是截面与平面 $A_{1}AC$ 的交线。 由面面垂直的性质，从平面 $A_{1}AC$ 内的点 $A$ 向截面所作的垂线，垂足落在交线 $\ell$ 上，因此 $d(A,\text{截面})=d(A,\ell )$

• 第四步：在平面 $A_{1}AC$ 内算出这段距离 $△AO{A}_1$ 中 $AO=A_{1}O=\sqrt{2}a$，$\angle AO{A}_1=90^{\circ }$，于是 $\angle O{A}_{1}A=45^{\circ }$。$\ell$ 过 $O$ 且 $\parallel A{A}_1$，故 $\ell$ 与 $AO$ 的夹角也是 $45^{\circ }$。过 $A$ 作 $AP\perp \ell$ 于 $P$，在 $\mathrm{Rt}△AOP$ 中 $d=AP=AO\sin 45^{\circ }=\sqrt{2}a\times \frac{\sqrt{2}}{2}=a$

故所求距离为 $a$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面距离向点面距离的转化；由”到三顶点等距”定射影位置（外心法则）；面面垂直的性质把空间距离压进一个平面。
2. 核心方法：几何法（作垂线）＋ 面面垂直降维。
3. 避坑指南：
   • 截面不是竖直的，别拿 $AO$ 当答案。斜棱柱中 $B_1{D}_{1}DB$ 随侧棱一起倾斜，$A$ 到它的距离必然小于 $AO=\sqrt{2}a$。本题若答 $\sqrt{2}a$，等于把斜棱柱当成了直棱柱。
   • $60^{\circ }$ 不能丢。它同时管两件事：一是三角形三边相等（从而定出射影是外心），二是倾角（$A_{1}O=AO=\sqrt{2}a$）。
   • 判据要背熟：一点到不共线三点等距，射影是这三点所成三角形的外心；直角三角形取斜边中点。这是斜棱柱、斜三棱锥里定垂足最省事的一条。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出处为高中数学教材立体几何“空间向量与立体几何”章节关于线面距离度量运算的经典高考压轴题，是高考考查空间拓扑对称性与降维转化化归思想最标准的圆满高档填空题。
2. 结论推广: 求直线到平面的距离，若直线与平面平行，可转化为直线上任一点到平面的距离，再利用等体积法或构造直角三角形求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-北京文-05 解-棱柱的体积
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 1989-上海-06 填-直线与平面的距离