2004-辽宁卷-14 填-函数极限

本题导读

本题考查函数极限的求法，以及 $\frac{0}{0}$ 型未定式极限。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） ${\lim }_{x\to \pi }\frac{(x-\pi )\cos x}{\sqrt{x}-\sqrt{\pi }}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别未定式类型：代入 $x=\pi$，分子 $(\pi -\pi )\cos \pi =0$，分母 $\sqrt{\pi }-\sqrt{\pi }=0$，是 $\frac{0}{0}$ 型，核心障碍是分母的零因子 $\sqrt{x}-\sqrt{\pi }$。
2. 消去零因子：
   • 方法一（因式分解）：把 $x-\pi$ 拆成 $(\sqrt{x}-\sqrt{\pi })(\sqrt{x}+\sqrt{\pi })$，与分母约分；
   • 方法二（分母有理化）：分子、分母同乘 $\sqrt{x}+\sqrt{\pi }$。
3. 代入求值：消去零因子后直接代入 $x=\pi$。

✅【答案】

Success

$-2\sqrt{\pi }$

✍【详细解析】

Abstract

• 方法一：分子因式分解 待求极限： $L={\lim }_{x\to \pi }\frac{(x-\pi )\cos x}{\sqrt{x}-\sqrt{\pi }}\text{（式1）}$

  由平方差公式 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$，把 $x-\pi$ 分解： $x-\pi =(\sqrt{x}{)}^2-(\sqrt{\pi }{)}^2=(\sqrt{x}-\sqrt{\pi })(\sqrt{x}+\sqrt{\pi })\text{（式2）}$

  代入（式1）： $L={\lim }_{x\to \pi }\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{\pi })(\sqrt{x}+\sqrt{\pi })\cos x}{\sqrt{x}-\sqrt{\pi }}\text{（式3）}$ 在 $x\to \pi$ 且 $x\ne \pi$ 的过程中，$\sqrt{x}-\sqrt{\pi }\ne 0$，约去该因子： $L={\lim }_{x\to \pi }\left[(\sqrt{x}+\sqrt{\pi })\cos x\right]\text{（式4）}$

• 方法二：分母有理化 对（式1）分子、分母同乘 $\sqrt{x}+\sqrt{\pi }$： $L={\lim }_{x\to \pi }\frac{(x-\pi )\cos x\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{\pi })}{(\sqrt{x}-\sqrt{\pi })(\sqrt{x}+\sqrt{\pi })}\text{（式5）}$ 分母： $(\sqrt{x}-\sqrt{\pi })(\sqrt{x}+\sqrt{\pi })=x-\pi \text{（式6）}$ 代回： $L={\lim }_{x\to \pi }\frac{(x-\pi )\cos x\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{\pi })}{x-\pi }\text{（式7）}$ 约去 $x-\pi$： $L={\lim }_{x\to \pi }\left[\cos x\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{\pi })\right]\text{（式8）}$

• 代入求值 （式4）与（式8）在 $x=\pi$ 处连续，直接代入： $L=(\sqrt{\pi }+\sqrt{\pi })\times \cos \pi \text{（式9）}$ 由 $\cos \pi =-1$： $L=2\sqrt{\pi }\times (-1)=-2\sqrt{\pi }$

填空题最终答案为： $-2\sqrt{\pi }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$\frac{0}{0}$ 未定式中根式零因子的消去；$\cos \pi =-1$ 的代入。
2. 核心方法：因式分解法、分母有理化法。
3. 避坑指南：
   • 最后一步把 $\cos \pi$ 错算成 1 或 0，导致符号丢失。注意 $\cos \pi =-1$，代入前可画图象核对正负号。
   • 学过洛必达法则的可用其复核：对分子、分母分别求导，分子为 $\cos x-(x-\pi )\sin x$，分母为 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$，代入 $x=\pi$ 得 $\frac{-1}{1/(2\sqrt{\pi })}=-2\sqrt{\pi }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查分式极限的化简，属低档常规题。
2. 结论推广: 对形如 ${\lim }_{x\to a}\frac{(x-a)\varphi (x)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}(a>0)$ 的极限（$\varphi (x)$ 在 $a$ 处连续），由 $\sqrt{x}-\sqrt{a}$ 与 $x-a$ 的关系可约去零因子，得 ${\lim }_{x\to a}\frac{(x-a)\varphi (x)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}=2\sqrt{a}\cdot \varphi (a)$。本题 $a=\pi ,\varphi (x)=\cos x$，故为 $-2\sqrt{\pi }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1977-山东A-12 解-洛必达法则求极限
• 1977-山东B-12 解-重要极限
• 1977-福建文-01 解-综合小题九连