2004-辽宁卷-11 单-正弦型函数

本题导读

本题考查最小正周期的几何判定，以及核心特征点的代数代入。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 若函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi )$ 的图像（部分）如图所示，则 $\omega$ 和 $\varphi$ 的取值是 ()

A. $\omega =1,\varphi =\frac{\pi }{3}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\omega =1,\varphi =-\frac{\pi }{3}$

C. $\omega =\frac{1}{2},\varphi =\frac{\pi }{6}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\omega =\frac{1}{2},\varphi =-\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由图象求周期、确定 $\omega$：图象从零点 $x=-\frac{\pi }{3}$ 上行到相邻最高点 $x=\frac{2\pi }{3}$，零点到相邻波峰的距离为 $\frac{1}{4}T$，据此求 $T$，再由 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 求 $\omega$。
2. 代入波峰求初相 $\varphi$：当 $x=\frac{2\pi }{3}$ 时函数取最大值 1，即 $\omega \cdot \frac{2\pi }{3}+\varphi =\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$，结合选项确定 $\varphi$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 求角频率 $\omega$ 观察函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi )$ 的图象：

  • 上行零点为 $\left(-\frac{\pi }{3},0\right)$；
  • 相邻最高点为 $\left(\frac{2\pi }{3},1\right)$。

  从上行零点到相邻波峰的横坐标距离为周期的 $\frac{1}{4}$： $\frac{1}{4}T=\frac{2\pi }{3}-\left(-\frac{\pi }{3}\right)\text{（式1）}$ 计算： $\frac{1}{4}T=\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{3}=\pi \text{（式2）}$ 两边乘 4： $T=4\pi \text{（式3）}$

  由 $T=\frac{2\pi }{\omega }(\omega >0)$： $4\pi =\frac{2\pi }{\omega }⟹\omega =\frac{2\pi }{4\pi }=\frac{1}{2}\text{（式4）}$ 可排除 A、B。

• 求初相 $\varphi$ 把 $\omega =\frac{1}{2}$ 代入： $f(x)=\sin \left(\frac{1}{2}x+\varphi \right)\text{（式5）}$

  由最高点 $\left(\frac{2\pi }{3},1\right)$ 在图象上，代入： $1=\sin \left(\frac{1}{2}\times \frac{2\pi }{3}+\varphi \right)⟹\sin \left(\frac{\pi }{3}+\varphi \right)=1\text{（式6）}$ 正弦值为 1 时，角在主值区间内为 $\frac{\pi }{2}$： $\frac{\pi }{3}+\varphi =\frac{\pi }{2}\text{（式7）}$ 解得： $\varphi =\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{6}-\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{6}\text{（式8）}$

• 结论 由（式4）（式8），参数为 $\omega =\frac{1}{2},\varphi =\frac{\pi }{6}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由图象零点与波峰间距求 $\frac{1}{4}T$；周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 的逆向换算；由波峰 $\omega x+\varphi =\frac{\pi }{2}$ 求初相。
2. 核心方法：数形结合法、特征点代入法。
3. 避坑指南：
   • 把零点到波峰的距离误当半个周期：计算 $\frac{1}{4}T=\frac{2\pi }{3}-(-\frac{\pi }{3})$ 时漏负号，或把”平衡位置到最大值”误当”平衡位置到下一个平衡位置”。注意：零点到波峰为 $\frac{1}{4}T$，波峰到波谷为 $\frac{1}{2}T$，零点到下一个同趋势零点为 $1T$。
   • 求 $\varphi$ 时优先代入波峰点：$\sin \theta =0$ 对应 $\theta =k\pi$ 有多解，易因选错主值而符号弄反（错选 D）；代入波峰点 $\frac{\pi }{2}$ 可一次确定符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查由五点作图法逆向求正弦型函数的解析式参数，属中档题。
2. 结论推广: 由正弦型函数相邻的上行零点 $x_0$ 与最大值点 $x_{\max }$ 可确定参数：$\omega =\frac{\pi }{2(x_{\max }-x_0)}$，$\phi =\frac{\pi }{2}-\omega x_{\max }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1977-江西-13 填-正弦型函数振幅周期
• 2006-江西文-02 单-正弦型函数周期
• 1958-河北-02 解-正弦型函数周期与图象