2004-辽宁卷-07 单-正弦函数的周期性

本题导读

本题考查正弦函数的周期性，以及诱导公式。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 已知函数 $f(x)=\sin \left(\pi x-\frac{\pi }{2}\right)-1$，则下列命题正确的是 ()

A. $f(x)$ 是周期为 1 的奇函数

B. $f(x)$ 是周期为 2 的偶函数

C. $f(x)$ 是周期为 1 的非奇非偶函数

D. $f(x)$ 是周期为 2 的非奇非偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求周期：$y=A\sin (\omega x+\varphi )+k$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，由 $\omega =\pi$ 得周期。
2. 用诱导公式化简：由 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \alpha$，把解析式化为 $f(x)=-\cos (\pi x)-1$。
3. 判定奇偶性：计算 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系，由定义判定。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 求最小正周期 $T$ 已知： $f(x)=\sin \left(\pi x-\frac{\pi }{2}\right)-1\text{（式1）}$ 自变量 $x$ 的系数（角频率）为： $\omega =\pi \text{（式2）}$ 由周期公式： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{\pi }=2\text{（式3）}$ 可排除 A、C。

• 用诱导公式化简解析式 由正弦函数的奇函数性质及诱导公式： $\sin \left(\pi x-\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left[-\left(\frac{\pi }{2}-\pi x\right)\right]=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-\pi x\right)\text{（式4）}$ 由 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$： $-\sin \left(\frac{\pi }{2}-\pi x\right)=-\cos (\pi x)\text{（式5）}$ 代回（式1）： $f(x)=-\cos (\pi x)-1\text{（式6）}$

• 判定奇偶性 定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称。计算： $f(-x)=-\cos [\pi \cdot (-x)]-1=-\cos (-\pi x)-1\text{（式7）}$ 由 $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$： $f(-x)=-\cos (\pi x)-1\text{（式8）}$ 对比（式8）与（式6）： $f(-x)=f(x)\text{（式9）}$ 故 $f(x)$ 是偶函数。

• 结论 $f(x)$ 是周期为 2 的偶函数。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$；诱导公式 $\sin \left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \theta$；由 $f(-x)=f(x)$ 判定偶函数。
2. 核心方法：诱导公式化归法、定义法判定奇偶性。
3. 避坑指南：
   • 看到常数项 $-1$ 就误判为”非奇非偶”：以为偶函数加常数后失去对称性，错选 D。应通过计算 $f(-x)$ 判定：本题三角项化简为 $-\cos (\pi x)$，它关于 $y$ 轴对称，整体下移 1 个单位后仍关于 $y$ 轴对称，故仍是偶函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查三角函数的周期与奇偶性的综合辨析，属中档题。
2. 结论推广: $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 为偶函数的充要条件是 $\phi =\frac{\pi }{2}+l\pi (l\in \mathbf{Z})$，此时 $f(x)=\pm A\cos (\omega x)+k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性