2004-辽宁卷-04 单-复数代数形式的四则运算

本题导读

本题考查复数代数形式的四则运算，以及复数模的定义与性质。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 设复数 $z$ 满足 $\frac{1-z}{1+z}=\text{i}$，则 $|1+z|=$ ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（去分母解出复数 $z$）：已知关于复数的代数方程为 $\frac{1-z}{1+z}=\text{i}$．通过两边同乘以分母 $(1+z)$ 进行去分母展开，移项合并关于 $z$ 的同类项，从而将复数 $z$ 用纯虚数 $\text{i}$ 的标准分式进行表达。
2. 第二步逻辑（复数有理化）：利用复数除法法则，分子、分母同乘以分母的共轭复数，将复数 $z$ 完整化简为标准的代数形式 $a+b\text{i}$．
3. 第三步逻辑（求解目标模长）：将求得的复数 $z$ 直接代入目标代数式 $|1+z|$ 中合并。最后利用复数模长公式 $|x+y\text{i}|=\sqrt{x^2+y^2}$ 计算输出最终的算术结果。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 方法一：标准的复数代数有理化求解（通用方法）： 已知给定的复数分式方程为： $\frac{1-z}{1+z}=\text{i}\text{（式1）}$ 方程（式1）两边同时乘以非零分母 $(1+z)$ 进行去分母展开： $1-z=\text{i}(1+z)⟹1-z=\text{i}+\text{i}z\text{（式2）}$ 将所有包含未知复数 $z$ 的项移到等号右侧，常数项移到等号左侧： $1-\text{i}=z+\text{i}z⟹1-\text{i}=(1+\text{i})z\text{（式3）}$ 等式两边同时除以系数 $(1+\text{i})$，解出复数 $z$ 的分式表达式： $z=\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}\text{（式4）}$

  利用复数除法法则，对（式4）进行分母有理化（分子、分母同乘以分母的共轭复数 $1-\text{i}$）： $z=\frac{(1-\text{i})(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{1-2\text{i}+{\text{i}}^2}{1^2-{\text{i}}^2}\text{（式5）}$ 由于虚数单位满足 ${\text{i}}^2=-1$，代入（式5）中化简： $z=\frac{1-2\text{i}-1}{1-(-1)}=\frac{-2\text{i}}{2}=-\text{i}\text{（式6）}$

  题目要求计算目标代数式 $|1+z|$ 的模长度量。 将已解出的核心代数恒等性质 $z=-\text{i}$（式6）直接代入目标式中： $|1+z|=|1-\text{i}|\text{（式7）}$ 根据复数模的标准代数定义式 $|x+y\text{i}|=\sqrt{x^2+y^2}$，对（式7）进行计算： $|1-\text{i}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

• 方法二：利用复数模的整体性质秒杀（快捷捷径）： 同样由前面的去分母方程（式3）可直接获得： $1-\text{i}=(1+\text{i})z\text{（式8）}$ 根据复数等式两边取模长、模依然保持相等的几何量原理，对（式8）两边整体施加模运算： $|1-\text{i}|=|(1+\text{i})z|\text{（式9）}$ 根据复数模的乘法分配律性质（即积的模等于模的积 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$），将（式9）右侧展开： $|1-\text{i}|=|1+\text{i}|\cdot |z|\text{（式10）}$ 利用模公式分别计算分量模长： $|1-\text{i}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$， $|1+\text{i}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$． 代入（式10）中： $\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot |z|⟹|z|=1\text{（式11）}$

  再关注到前面化简过程中导出的分式式（式4） $z=\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}$． 两边同时加上 1，通过直接通分重构目标项 $1+z$： $1+z=1+\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{(1+\text{i})+(1-\text{i})}{1+\text{i}}=\frac{2}{1+\text{i}}\text{（式12）}$ 对（式12）两边同时取模，应用商的模等于模的商性质： $|1+z|=\left|\frac{2}{1+\text{i}}\right|=\frac{|2|}{|1+\text{i}|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法中有理化共轭因子的运用；虚数单位平方项 ${\text{i}}^2=-1$ 的强制消元；复数模长基本代数式。
2. 核心方法：代数有理化化归法、整体模长恒等性质性质法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在计算 $\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}$ 时，习惯性背错结论或发生符号反转的笔误：在高中数学复数选择填空题中，有两个公认的极高频标准初等恒等性质结果，建议直接作为常识牢记硬背以提升做题速度： $\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}\equiv -\text{i},\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}\equiv \text{i}$ 口诀为：‘分子是啥就是啥’（分子是减号 $-i$ 结果就是 $-i$，分子是加号 $+i$ 结果就是 $+i$）。利用这个现成的高考铁律恒等性质，本题从（式4）可以直接一眼看出 $z=-\text{i}$，从而瞬间切入到最后一步模长计算，省去整个分母展开的步骤，确保万无一失。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材“复数代数形式的四则运算”章节的课后标准经典基础题，是高考考查复数基本功与复平面数系规约能力最标准低档得分题。
2. 结论推广: 复数分式 $\frac{1-z}{1+z}$ 的化简，分子分母同乘共轭复数，或直接令 $z=a+b\text{i}$ 代入后用复数四则运算整理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-19 单-复数模与平方
• 1986-上海理-18 单-复数模与平方
• 1986-全国文-12 填-复数的运算