2004-辽宁卷-02 单-指数函数的单调性

本题导读

本题考查指数函数的单调性，以及对数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 对于 $0<a<1$，给出下列四个不等式： ① ${\log }_a(1+a)<{\log }_a\left(1+\frac{1}{a}\right)$； ② ${\log }_a(1+a)>{\log }_a\left(1+\frac{1}{a}\right)$； ③ $a^{1+a}<a^{1+\frac{1}{a}}$； ④ $a^{1+a}>a^{1+\frac{1}{a}}$. 其中成立的是 ()

A. ①与③　　　　　B. ①与④　　　　　C. ②与③　　　　　D. ②与④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基础大小关系：由 $0<a<1$ 得 $\frac{1}{a}>1$，故 $a<\frac{1}{a}$，两边加 1 得 $1+a<1+\frac{1}{a}$。
2. 判定对数不等式：$0<a<1$ 时，$y={\log }_{a}x$ 单调递减，真数越大函数值越小，故不等号反向。
3. 判定指数不等式：$0<a<1$ 时，$y=a^x$ 也单调递减，指数越大函数值越小，不等号同样反向。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• 比较真数与指数的内部大小关系 已知： $0<a<1\text{（式1）}$ 取倒数： $\frac{1}{a}>1\text{（式2）}$

  由（式1）（式2）知 $a<\frac{1}{a}$，两边加 1： $1+a<1+\frac{1}{a}\text{（式3）}$

• 判定对数不等式 ① 与 ② 由 $0<a<1$，$f(x)={\log }_{a}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，自变量越大函数值越小。 结合（式3）的真数大小关系，取对数后不等号反向： ${\log }_a(1+a)>{\log }_a\left(1+\frac{1}{a}\right)\text{（式4）}$ 故 ① 错误，② 正确。

• 判定指数不等式 ③ 与 ④ 由 $0<a<1$，$g(x)=a^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，指数越大函数值越小。 结合（式3）的指数大小关系： $a^{1+a}>a^{1+\frac{1}{a}}\text{（式5）}$ 故 ③ 错误，④ 正确。

• 汇总 由（式4）（式5），成立的命题为 ② 与 ④。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$0<a<1$ 时指数函数与对数函数均单调递减；倒数的大小比较。
2. 核心方法：单调性分析法、特殊值代入法。
3. 避坑指南：
   • 概念不熟时可用特殊值法：令 $a=\frac{1}{2}$，则 $\frac{1}{a}=2$。
     • 真数/指数项： $1+a=\frac{3}{2}$， $1+\frac{1}{a}=3$；
     • 对数式：${\log }_{1/2}\frac{3}{2}$ 与 ${\log }_{1/2}3$，因 $\frac{3}{2}<3$ 且底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，左 $>$ 右，保留 ②；
     • 指数式：${\left(\frac{1}{2}\right)}^{3/2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$，${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$，因 $2\sqrt{2}=\sqrt{8}<8$，故 $\frac{1}{2\sqrt{2}}>\frac{1}{8}$，左 $>$ 右，保留 ④。 故成立的是 ② 与 ④。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，属低档题。
2. 结论推广: 当 $0<a<1$ 时，$y={\log }_{a}x$ 与 $y=a^x$ 均为减函数；当 $a>1$ 时均为增函数。比较含指数、对数的大小，先判断底数范围确定单调性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1985-广东理-17 单-对数函数的单调性
• 1986-全国文-05 单-指数式的大小比较