2004-福建理-16 填-正六边形的几何性质

本题导读

本题考查正六边形的几何性质，以及空间几何体的体积公式。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 如图，将边长为 $1$ 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 $\frac{2}{3}$ 时，其容积最大.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设自变量并建立几何关系：设折叠后底面正六边形边长为 $x$（$0<x<1$）。正六边形内角为 $120^{\circ }$，切角处折起部分的侧面矩形宽即高 $h$，由几何关系求 $h$ 与 $x$ 的关系。
2. 构建体积函数 $V(x)$：底面积为 6 个边长 $x$ 的正三角形面积之和 $S_{\text{底}}=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}{x}^2$，体积 $V(x)=S_{\text{底}}\cdot h$。
3. 求导求最值点：对 $V(x)$ 求导，令 $V^{\prime }(x)=0$ 得驻点，判断单调性确定最大容积对应的 $x$。

✅【答案】

Success

$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立几何关系，求高 $h$ 与底面边长 $x$ 的关系 设无盖正六棱柱容器的底面正六边形边长为 $x$（即图中内部虚线正六边形的边长），高为 $h$，原正六边形边长为 1。

正六边形每个内角均为 $120^{\circ }$。沿虚线（新底面的边）向外折起时，折起部分构成 6 个侧面矩形，其宽即高 $h$。 在原正六边形的顶点处，虚线与外部边界之间构成直角三角形。正六边形两相邻边的夹角被平分为两个 $60^{\circ }$，在以高 $h$ 为一条直角边的三角形中，与高相邻的基底段长为 $h\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}h$。

原边长 1 由新边长 $x$ 与两侧切除的两个基底段组成： $1=x+2\times \left(h\cdot \cot 60^{\circ }\right)=x+2\times \frac{\sqrt{3}}{3}h$ 解得高 $h$ 关于 $x$ 的表达式： $\frac{2\sqrt{3}}{3}h=1-x⟹h=\frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)\text{（式1）}$ 由高与边长为正，得 $x\in (0,1)$。

第二步：构建体积函数 $V(x)$ 底面是边长为 $x$ 的正六边形，可拆为 6 个全等正三角形，面积为： $S_{\text{底}}=6\times \left(\frac{1}{2}\times x\times x\times \sin 60^{\circ }\right)=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}{x}^2$

体积为底面积与高（式1）的乘积： $V(x)=S_{\text{底}}\cdot h=\frac{3\sqrt{3}}{2}{x}^2\times \frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)$ $V(x)=\frac{9}{4}{x}^2(1-x)=\frac{9}{4}(x^2-x^3)$

第三步：用导数求最值点 求导： $V^{\prime }(x)=\frac{9}{4}(2x-3x^2)=\frac{27}{4}x\left(\frac{2}{3}-x\right)$

令 $V^{\prime }(x)=0$，在 $(0,1)$ 内得唯一驻点： $x=\frac{2}{3}$

判断导函数符号：

• 当 $x\in \left(0,\frac{2}{3}\right)$ 时， $V^{\prime }(x)>0$，$V(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in \left(\frac{2}{3},1\right)$ 时， $V^{\prime }(x)<0$，$V(x)$ 单调递减。

函数先增后减，故 $x=\frac{2}{3}$ 处取得最大值，即当底面边长为 $\frac{2}{3}$ 时容积最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正六边形内角 $120^{\circ }$ 分解出的直角三角形边角关系（$30^{\circ }-60^{\circ }-90^{\circ }$）；柱体体积 $V=Sh$ 的函数化；用导数 $V^{\prime }(x)=0$ 求单峰函数的最值。
2. 核心方法：几何参数化法、导数法。
3. 避坑指南：
   • 高 $h$ 的边角比例算错：切角处构造直角三角形时误把角看成 $45^{\circ }$ 或 $60^{\circ }$，错写成 $1=x+2h$ 或 $1=x+\sqrt{3}h$。做折叠应用题应先画切角放大图，由正六边形内角严格推导边长切分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查立体几何与导数最值的综合，属高难度综合题。

2. 结论推广: 本题属”正多边形薄板切角折成棱柱容器求最大容积”模型。一般地，正 $n$ 边形薄板切角折成无盖正 $n$ 棱柱时，体积 $V$ 关于新底面边长 $x$ 均化为 $V(x)=\alpha x^2(L-x)$ 的三次形式，使容积最大的底面边长恒为 $x=\frac{2}{3}L$。本题 $L=1$，故 $x=\frac{2}{3}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1977-北京文-05 解-棱柱的体积
• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 1987-广东文-06 单-圆锥的体积