2004-福建理-09 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及极限的计算。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 若 $(1-2^x{)}^9$ 展开式的第 3 项为 $288$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots \frac{1}{x^n}\right)$ 的值是 ()

A. $2$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用二项式通项公式求 $x$：$(a+b{)}^n$ 的通项为 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。本题第 3 项对应 $r=2$，即 $T_3={\text{C}}_9^2\cdot 1^7\cdot (-2^x{)}^2=288$，解出 $x$。
2. 求等比数列极限：代入 $x$ 后，括号内是首项 $\frac{1}{x}$、公比 $\frac{1}{x}$ 的等比数列前 $n$ 项和，用求和公式或无穷递缩等比数列求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$（$|q|<1$）求极限。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：用二项式通项公式求 $x$ 由通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，在 $(1-2^x{)}^9$ 中取 $n=9$： 第 3 项对应 $r=2$： $T_3={\text{C}}_9^2\cdot 1^{9-2}\cdot (-2^x{)}^2$ 计算 ${\text{C}}_9^2=\frac{9\times 8}{2\times 1}=36$；$(-2^x{)}^2=(2^x{)}^2=2^{2x}$。 故： $T_3=36\times 2^{2x}$

由题意 $T_3=288$： $36\times 2^{2x}=288$ 两边除以 36： $2^{2x}=\frac{288}{36}=8$ 由 $8=2^3$： $2^{2x}=2^3⟹2x=3⟹x=\frac{3}{2}$

第二步：代入 $x$ 求无穷级数的和 将 $x=\frac{3}{2}$ 代入： $\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$ 目标式为： ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots \frac{1}{x^n}\right)={\lim }_{n\to \infty }\left[\frac{2}{3}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right]$

括号内是首项 $a_1=\frac{2}{3}$、公比 $q=\frac{2}{3}$ 的等比数列前 $n$ 项和： $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{\frac{2}{3}\left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right]}{1-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{2}{3}\left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right]}{\frac{1}{3}}=2\left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right]$

因 $|q|=\frac{2}{3}<1$，当 $n\to \infty$ 时 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n\to 0$： ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$ 故： ${\lim }_{n\to \infty }2\left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right]=2\times (1-0)=2$

(注：也可直接用无穷递缩等比级数求和公式 $S_{\infty }=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=2$)。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式中”第 $r+1$ 项”与通项指数 $r$ 的对应；指数方程求解；无穷递缩等比级数求和。
2. 核心方法：二项式通项法、无穷等比级数求和法。
3. 避坑指南：
   • 混淆项数与 $r$：把”第 3 项”误当 $r=3$，写成 $T_3={\text{C}}_9^3(-2^x{)}^3$。注意第 $n$ 项对应的组合数下标是 $n-1$。
   • 未检查收敛条件：用无穷等比求和公式前须核验 $|q|<1$；若 $|q|\ge 1$ 则级数发散。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查二项式定理与极限、级数的交汇，属中等难度题。
2. 结论推广: 无穷等比数列 ${\sum }_{k=1}^{\infty }{x}^{-k}$（$|x|>1$）的和为 $\frac{1}{x-1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1985-广东文-02 填-等比数列的通项
• 1977-安徽文-09 解-等比增长求和
• 1977-福建文-01 解-综合小题九连