2004-福建理-05 单-空间点线面的位置关系

本题导读

本题考查空间点线面的位置关系，以及线面垂直与面面平行的性质。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 已知 $m$、$n$ 是不重合的直线， $\alpha$、 $\beta$ 是不重合的平面，有下列命题： ① 若 $m\subset \alpha$，$n\parallel \alpha$，则 $m\parallel n$； ② 若 $m\parallel \alpha$，$m\parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$； ③ 若 $\alpha \cap \beta =n$，$m\parallel n$，则 $m\parallel \alpha$ 且 $m\parallel \beta$； ④ 若 $m\perp \alpha$，$m\perp \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$. 其中真命题的个数是 ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用长方体模型检验线面平行关系（①②③）：
   • 建立长方体作为标准空间直角基底。
   • 对于①：一条直线在平面内，另一条直线平行于该平面，这两条直线可以平行，也可以是异面关系。
   • 对于②：同一条直线平行于两个不同的平面，这两个平面可以平行，也可以相交（如长方体中过同一条侧棱的两相邻侧面均平行于相对的另一条侧棱）。
   • 对于③：若直线 $m$ 平行于交线 $n$，且 $m$ 不在两平面内，由线面平行的判定定理可知 $m$ 均平行于两个平面。但需要特别注意 $m$ 在平面内的特殊边界情况。
2. 运用垂直性质判定面面关系（④）：
   • 对于④：根据空间中垂直于同一条直线的两个平面互相平行的性质定理进行直接判定。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

① 命题 ① 的真假性分析

• 反例构造：在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，令平面 $\alpha$ 为底面 $ABCD$。 取直线 $m=AB\subset \alpha$。再取直线 $n=A_1{D}_1$。 因为 $A_1{D}_1\parallel AD$，且 $AD\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $n\parallel \alpha$ 成立。 然而，在空间中直线 $m(AB)$ 与直线 $n(A_1{D}_1)$ 是异面直线，并不平行。
• 结论：命题 ① 为假命题。

② 命题 ② 的真假性分析

• 反例构造：在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，取一条侧棱 $m=C{C}_1$。 令平面 $\alpha$ 为前侧面 $AB{B}_1{A}_1$，平面 $\beta$ 为左侧面 $AD{D}_1{A}_1$。 显然，侧棱 $C{C}_1\parallel$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$ 且 $C{C}_1\parallel$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$，即条件 $m\parallel \alpha$ 且 $m\parallel \beta$ 满足。 然而，平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 互相垂直并相交于棱 $A{A}_1$，并不平行。
• 结论：命题 ② 为假命题。

③ 命题 ③ 的真假性分析

• 漏洞识别：题目中未说明直线 $m$ 与平面 $\alpha ,\beta$ 的位置隶属关系。 若直线 $m$ 恰好在平面 $\alpha$ 或平面 $\beta$ 内，则线面平行不成立。
• 反例构造：若平面 $\alpha \cap \beta =n$，由于 $m\parallel n$，我们可以让直线 $m$ 直接重合于平面 $\alpha$ 内的某条平行线。例如令 $m$ 就在平面 $\alpha$ 内，此时 $m\parallel \alpha$ 不成立（应为 $m\subset \alpha$）。
• 结论：命题 ③ 为假命题。

④ 命题 ④ 的真假性分析

• 定理证明：根据空间线面垂直的性质定理： 若直线 $m\perp \alpha$，则平面 $\alpha$ 的法向量 ${\vec{\mathbf{n}}}_{\alpha }\parallel m$。 若直线 $m\perp \beta$，则平面 $\beta$ 的法向量 ${\vec{\mathbf{n}}}_{\beta }\parallel m$。 由于两条不重合的平面法向量均平行于同一条直线 $m$，故 ${\vec{\mathbf{n}}}_{\alpha }\parallel {\vec{\mathbf{n}}}_{\beta }$。 法向量平行对应着两个平面互相平行，即 $\alpha \parallel \beta$ 恒成立。
• 结论：命题 ④ 为真命题。

综上所述，真命题仅有 ④ 一个，个数为 1。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行判定定理中“线在面外”的隐含边界条件；空间异面直线的拓扑排布；空间法向量共线驱动面面平行的性质。
2. 核心方法：长方体母体格网反例排除法。
3. 避坑指南：
   • 漏掉“线在面内”的边缘情况导致错选③：很多学生看到 $m\parallel n$ 且 $n$ 是交线，就直接根据线面平行的判定定理认为 $m\parallel \alpha$ 且 $m\parallel \beta$。请务必注意：线面平行的前提是“直线在平面外”（$m\not\subset \alpha$）。如果题目没有明确声明 $m$ 与平面的位置关系，一定要防御“线在面内”的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查立体几何点线面空间位置关系（欧氏几何公理体系）的标准大纲选择题，属于低难度基础概念题。
2. 结论推广: 判断线面、线线平行与垂直关系，可转化为方向向量、法向量的共线与垂直关系：线线平行 ⇔ 方向向量共线，线面垂直 ⇔ 方向向量与法向量共线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-22 单-面面平行的判定
• 1987-广东理-17 单-面面平行的判定
• 1991-上海-18 单-面面平行与线面平行的条件