2004-福建理-03 单-简易逻辑

本题导读

本题考查简易逻辑，以及充要条件。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 命题 $p$：若 $a,b\in \mathbf{R}$，则 $|a|+|b|>1$ 是 $|a+b|>1$ 的充要条件.命题 $q$：函数 $y=\sqrt{|x-1|-2}$ 的定义域是 $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$.则 ()

A. “$p$ 或 $q$”为假　B. “$p$ 且 $q$”为真　C. $p$ 真 $q$ 假　D. $p$ 假 $q$ 真

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 $p$ 的真假：
   • 充分性（由 $|a|+|b|>1⟹|a+b|>1$）：可以通过寻找特例来检验。例如取 $a=1,b=-1$，代入后左边 $|1|+|-1|=2>1$，右边 $|1+(-1)|=0\ngtr 1$，充分性不成立。
   • 必要性（由 $|a+b|>1⟹|a|+|b|>1$）：根据绝对值三角不等式定理，恒有 $|a|+|b|\ge |a+b|$。故若 $|a+b|>1$，必有 $|a|+|b|>1$，必要性成立。
   • 综合可知，$|a|+|b|>1$ 是 $|a+b|>1$ 的必要不充分条件，故命题 $p$ 为假命题。
2. 分析命题 $q$ 的真假：
   • 无理函数（二次根式）在实数域内有意义，要求被开方数恒大于或等于 0。
   • 建立不等式 $|x-1|-2\ge 0⟹|x-1|\ge 2$。展开绝对值不等式求解其 $x$ 的取值集合，比对给出的定义域区间。
3. 判定复合命题：根据 $p,q$ 的真假状态，对照逻辑联结词“或”、“且”的真值规则，选出符合的选项。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定命题 $p$ 的真假性 要验证“$|a|+|b|>1⟺|a+b|>1$”是否为充要条件：

• 充分性检验： 尝试代入一组符号相反的特例，令 $a=1,b=-1$。 此时，条件端满足： $|a|+|b|=|1|+|-1|=2>1$； 然而，结论端满足： $|a+b|=|1+(-1)|=0$。由于 $0>1$ 不成立，说明充分性不成立。
• 必要性检验： 根据绝对值三角不等式的经典几何性质，对任意实数 $a,b$ 恒有： $|a|+|b|\ge |a+b|$ 因此，当结论端 $|a+b|>1$ 成立时，根据不等式的传递性，必然有 $|a|+|b|\ge |a+b|>1$，即条件端 $|a|+|b|>1$ 必定成立。说明必要性成立。

综上， $|a|+|b|>1$ 是 $|a+b|>1$ 的必要不充分条件，而非充要条件。 因此，命题 $p$ 为假命题（或记作 $p$ 假）。

第二步：判定命题 $q$ 的真假性 对于无理函数 $y=\sqrt{|x-1|-2}$，要使其在实数域内有意义，被开方数必须满足非负约束条件： $|x-1|-2\ge 0$ 移项转化为标准的绝对值不等式： $|x-1|\ge 2$ 根据绝对值不等式的去绝对值几何规则（大往两边走）： $x-1\le -2\text{或}x-1\ge 2$ 解这两个一元一次不等式： $x\le -1\text{或}x\ge 3$ 用区间形式表示，该函数的定义域为： $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$ 这与命题 $q$ 中叙述的定义域完全一致。 因此，命题 $q$ 为真命题（或记作 $q$ 真）。

第三步：结合逻辑联结词判定复合命题真假 已知 $p$ 为假命题， $q$ 为真命题：

• 对于 (A)：“$p$ 或 $q$”，根据“一真即真”的规则，由于 $q$ 为真，故“$p$ 或 $q$”为真。选项表述为假，不符；
• 对于 (B)：“$p$ 且 $q$”，根据“一假即假”的规则，由于 $p$ 为假，故“$p$ 且 $q$”为假。选项表述为真，不符；
• 结合简单命题的状态， $p$ 为假， $y$ 为真，完美对应选项 (D)。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值三角不等式 $|a+b|\le |a|+|b|$ 的代数控制界限；基础绝对值不等式 $|x-x_0|\ge d$ 的去绝对值分域解法；复合命题逻辑运算（或 $\vee$、且 $\wedge$）真假表的逻辑判定。
2. 核心方法：特例反驳法（构建反例消去错误充分性）、绝对值区间分域法。
3. 避坑指南：
   • 将“必要性”与“充分性”的方向颠倒：部分学生在推导充要条件时，把 $A⟹B$ 当成必要性，把 $B⟹A$ 当成充分性。请牢记口诀：由条件能推导出结论，代表条件对结论而言是“充分”的；由结论能逆推回条件，代表条件对结论而言是“必要”的。
   • 处理真假话复合时马虎大意：在求出 $p$ 假 $q$ 真后，由于思维惯性，在比对 A、B 选项的“或”“且”时容易看错逻辑真值表，务必在审视选项时进行二次符号化校验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查简易逻辑与高中两类基础代数工具（绝对值三角不等式、绝对值解集）交汇的经典常规选择题，属于低难度基础题。
2. 结论推广: 判断复合命题的真假，先判断各简单命题的真假，再按逻辑联结词（或、且、非）的运算规则确定复合命题的真假。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-14 填-绝对值不等式的求解
• 1993-上海-20 单-充分条件的判定
• 2013-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式