2004-湖南理-21 解-抛物线

本题导读

本题考查直线与圆锥曲线的交点问题。核心在于向量代数证明法、联立方程消元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 如图，过抛物线 $x^2=4y$ 的对称轴上任一点 $P(0,m)(m>0)$ 作直线与抛物线交于 $A、B$ 两点，点 $Q$ 是点 $P$ 关于原点的对称点.

(1) 设点 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 所成的比为 $\lambda$，证明： $\overrightarrow{QP}\perp (\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB})$；

(2) 设直线 $AB$ 的方程是 $x-2y+12=0$，过 $A、B$ 两点的圆 $C$ 与抛物线在点 $A$ 处有共同的切线，求圆 $C$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问逻辑：
   • 点 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 所成的比为 $\lambda$，根据定比分点定义有 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$。改写为以原点或以 $Q$ 为基底的向量形式： $\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB}}{1+\lambda }$。
   • 点 $Q$ 与 $P(0,m)$ 关于原点对称 $⟹Q(0,-m)$。由此可得 $\overrightarrow{QP}=(0,2m)$。
   • 计算目标向量 $\vec{v}=\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB}$ 的坐标分布。由于只需证明 $\overrightarrow{QP}\perp \vec{n}$，而 $\overrightarrow{QP}$ 只有纵坐标非零，因此只需证明向量 $\vec{v}$ 的纵坐标严格为 0 即可。通过联立直线与抛物线方程，结合韦达定理证明其纵坐标为 0。
2. 第(2)问逻辑：
   • 第一步：将直线 $AB:x-2y+12=0$ 与抛物线 $x^2=4y⟹y=\frac{1}{4}{x}^2$ 联立。消去 $y$ 得到关于 $x$ 的一元二次方程，解出交点 $A$ 和 $B$ 的精确坐标。由于共切线在点 $A$ 处，优先锁定点 $A$。
   • 第二步：利用导数求出抛物线在点 $A$ 处的切线斜率 $k_{\text{切}}$。因为圆 $C$ 在点 $A$ 处与抛物线共切线，所以圆心 $C(x_0,y_0)$ 与点 $A$ 的连线 $CA$ 必须严格垂直于该切线，即 $k_{CA}\cdot k_{\text{切}}=-1$。由此建立关于圆心坐标 $x_0,y_0$ 的第一个线性方程。
   • 第三步：圆 $C$ 同时过 $A,B$ 两点，说明圆心 $C$ 必然落在弦 $AB$ 的垂直平分线上。求出线段 $AB$ 的中点坐标及垂直平分线方程，将圆心坐标代入，建立第二个线性方程。联立求解圆心 $C$ 的坐标，进而通过距离公式求出半径 $R=|CA|$。

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✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) 当 $A(6,9)$、$B(-4,4)$ 时，圆 $C:{\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{23}{2}\right)}^2=\frac{125}{2}$；

若 $A$、$B$ 互换（$A(-4,4)$、$B(6,9)$），则为 ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-\frac{13}{2}\right)}^2=\frac{125}{4}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： $\overrightarrow{QP}\perp (\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB})$ 已知点 $P(0,m)$，点 $Q$ 是点 $P$ 关于原点的对称点，则点 $Q$ 的坐标为： $Q(0,-m)⟹\overrightarrow{QP}=(0,2m)\text{（式1）}$ 设 $A(x_1,y_1)$， $B(x_2,y_2)$。因为点 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 所成的比为 $\lambda$，由定比分点公式可得： $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}⟹P-A=\lambda (B-P)⟹P=\frac{A+\lambda B}{1+\lambda }$ 分别写出横、纵坐标的分量关系式： $0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }⟹x_1+\lambda x_2=0⟹\lambda =-\frac{x_1}{x_2}\text{（式2）}$ $m=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }⟹y_1+\lambda y_2=m(1+\lambda )\text{（式3）}$

下面计算目标向量 $\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB}$ 的坐标。根据向量的减法，将其拆解为以原点 $O$ 为基底的表达： $\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OQ})-\lambda (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OQ})=\overrightarrow{OA}-\lambda \overrightarrow{OB}-(1-\lambda )\overrightarrow{OQ}$ 已知 $\overrightarrow{OQ}=(0,-m)$，代入分量坐标形式： $\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB}=(x_1,y_1)-\lambda (x_2,y_2)-(1-\lambda )(0,-m)=(x_1-\lambda x_2,y_1-\lambda y_2+(1-\lambda )m)\text{（式4）}$

将（式2） $\lambda x_2=-x_1$ 代入（式4）的横坐标项： $\text{横坐标}=x_1-(-x_1)=2x_1$ 将（式3） $y_1+\lambda y_2=m+\lambda m⟹y_1=m+\lambda m-\lambda y_2$ 代入（式4）的纵坐标项： $\text{纵坐标}=[m(1+\lambda )-\lambda y_2]-\lambda y_2+m(1-\lambda )=m+\lambda m-2\lambda y_2+m-\lambda m=2m-2\lambda y_2\text{（式5）}$

因为点 $A,B$ 均在抛物线 $x^2=4y⟹y=\frac{x^2}{4}$ 上，故 $y_2=\frac{x_2^2}{4}$。 将此项与（式2）的 $\lambda =-\frac{x_1}{x_2}$ 一并代入（式5）中： $\text{纵坐标}=2m-2\left(-\frac{x_1}{x_2}\right)\cdot \left(\frac{x_2^2}{4}\right)=2m+\frac{1}{2}{x}_1{x}_2\text{（式6）}$

设过点 $P(0,m)$的斜存在直线 $AB$ 的方程为 $y=kx+m$。与抛物线 $x^2=4y$ 联立： $x^2=4(kx+m)⟹x^2-4kx-4m=0$ 根据一元二次方程韦达定理，两根之积恒满足： $x_1{x}_2=-4m\text{（式7）}$ 将（式7）代回（式6）的纵坐标项中： $\text{纵坐标}=2m+\frac{1}{2}(-4m)=2m-2m=0$

由此，目标向量（式4）的坐标被简化重组为： $\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB}=(2x_1,0)\text{（式8）}$ 计算（式1）与（式8）的内积数量积： $\overrightarrow{QP}\cdot (\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB})=0\times 2x_1+2m\times 0=0$ 根据向量正交判定定理，数量积为 0 意味着两向量严格垂直： $\overrightarrow{QP}\perp (\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB})$

(2) 设直线 $AB$ 的方程是 $x-2y+12=0$，过 $A、B$ 两点的圆 $C$ 与抛物线在点 $A$ 处有共同的切线，求圆 $C$ 的方程

• 第一步：联立求出交点 $A,B$ 的精确坐标： 将直线方程变形为 $2y=x+12⟹4y=2x+24$。 代入抛物线方程 $x^2=4y$ 中： $x^2=2x+24⟹x^2-2x-24=0$ 利用因式分解法： $(x-6)(x+4)=0⟹x_A=6,x_B=-4$ 由于点 $A$ 位于第一象限（依据题意图示），锁定：

  • 点 $A$ 的坐标： $x_A=6⟹y_A=\frac{6^2}{4}=9⟹A(6,9)$
  • 点 $B$ 的坐标： $x_B=-4⟹y_B=\frac{(-4{)}^2}{4}=4⟹B(-4,4)$

• 第二步：求解抛物线在点 $A$ 处的切线斜率： 由抛物线解析式 $y=\frac{1}{4}{x}^2$，对其求导数： $y^{\prime }=\frac{1}{2}x$ 将点 $A$ 的横坐标 $x=6$ 代入导数中，求得切线斜率 $k_{\text{切}}$： $k_{\text{切}}=\frac{1}{2}\times 6=3\text{（式9）}$

• 第三步：利用圆的几何特征列出方程组求解圆心 $C(x_0,y_0)$：

  1. 条件一：圆心落在弦 $AB$ 的垂直平分线上： 计算线段 $AB$ 的中点 $D$ 坐标： $x_D=\frac{6+(-4)}{2}=1,y_D=\frac{9+4}{2}=\frac{13}{2}⟹D\left(1,\frac{13}{2}\right)$ 已知直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}=\frac{1}{2}$，则其垂直平分线的斜率为 $k_{\perp }=-2$。 写出垂直平分线的方程： $y-\frac{13}{2}=-2(x-1)⟹2x+y-\frac{17}{2}=0⟹4x_0+2y_0-17=0\text{（式10）}$

  2. 条件二：圆心与切点 $A$ 的连线垂直于切线： 圆心 $C(x_0,y_0)$ 与切点 $A(6,9)$ 的连线必为圆的半径，由平面几何定理知其与（式9）的切线严格垂直： $k_{CA}=-\frac{1}{k_{\text{切}}}=-\frac{1}{3}$ 根据斜率公式建立代数式： $\frac{y_0-9}{x_0-6}=-\frac{1}{3}⟹3(y_0-9)=-(x_0-6)⟹x_0+3y_0-33=0\text{（式11）}$

  联立由两个几何量约束建立的二元一次方程组（式10）与（式11）： $\{\begin{array}{l}4x_0+2y_0=17\\ x_0+3y_0=33\end{array}$ 由第二个方程变形得 $x_0=33-3y_0$，代入第一个方程中： $4(33-3y_0)+2y_0=17⟹132-12y_0+2y_0=17⟹10y_0=115⟹y_0=\frac{23}{2}$ 将 $y_0=\frac{23}{2}$ 代回求出 $x_0$： $x_0=33-3\times \frac{23}{2}=33-\frac{69}{2}=-\frac{3}{2}$ 故圆心 $C$ 的坐标唯一锁定为： $C\left(-\frac{3}{2},\frac{23}{2}\right)$。

• 第四步：求解半径并写出圆的标准方程： 圆的半径平方 $R^2$ 等于圆心 $C$ 到点 $A(6,9)$ 的物理欧氏距离平方： $R^2=|CA{|}^2={\left(6-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)}^2+{\left(9-\frac{23}{2}\right)}^2={\left(\frac{15}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{225}{4}+\frac{25}{4}=\frac{250}{4}=\frac{125}{2}$

  综上，圆 $C$ 的标准方程为： ${\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{23}{2}\right)}^2=\frac{125}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定比分点运算向坐标系基底的映射化简；利用微积分导数求二次曲线特定切线斜率；圆的经典对偶几何线（弦垂直平分线与切线垂线的交点即为圆心）。
2. 核心方法：坐标解析几何法、空间恒等性质法。
3. 避坑指南：
   • 第(1)问中切忌将向量 $(\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB})$ 展开为长串包含四个字母的坐标公式进行死算：应当敏锐识破因定比分点在横轴的分量抵消性质，其横坐标直接精简为 $2x_1$，纵坐标利用韦达定理 $x_1{x}_2=-4m$ 与抛物线方程进行消元，这样可以省去至少 70% 的代数运算量，且逻辑极为严密。
   • 第(2)问求圆的方程，坚决避免使用圆的一般式 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 代入三点联立：因为过 A, B 两点且共切线，条件属于重根图形，用一般式容易导致方程组秩亏损或系数极其繁琐。请熟记解析几何圆大题金标准：求圆方程，百分之百优先用几何法求圆心（即通过‘弦垂直平分线’与‘切点法线’的交点），线性方程组极好求解，且半径直接通过两点距离给出，准确率最高。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学解析几何关于“直线与抛物线、圆的综合交汇位置关系”的经典高考压轴解答题。
2. 结论推广: 涉及抛物线上两点与定点的垂直关系问题，常设两点坐标，利用斜率乘积为 $-1$ 或向量数量积为零建立方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-35 解-抛物线与圆的交点
• 1986-上海理-34 解-抛物线与圆的交点
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切