2004-湖南理-20 解-导数的乘法与复合求导法则

本题导读

本题考查导数的乘法与复合求导法则。核心在于分类讨论法、导数正负判定法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^2{\text{e}}^{ax}$，其中 $a\le 0$， $\text{e}$ 为自然对数的底数.

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上res的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问逻辑：首先求出导函数 $f^{\prime }(x)=2x{\text{e}}^{ax}+a{x}^2{\text{e}}^{ax}=x(ax+2){\text{e}}^{ax}$。由于 ${\text{e}}^{ax}>0$ 恒成立，导数的正负符号完全由二次因式 $x(ax+2)$ 控制。
   • 情形一：当 $a=0$ 时， $f^{\prime }(x)=2x$，零点为 $x=0$，单调性极易判定。
   • 情形二：当 $a<0$ 时， $f^{\prime }(x)=0$ 有两个相异实根： $x_1=0,x_2=-\frac{2}{a}$。因为 $a<0⟹-\frac{2}{a}>0$，所以零点排布为 $0<-\frac{2}{a}$。利用二次函数图象特征可划分三个单调区间。
2. 第(2)问逻辑：结合（1）中 $a$ 的分类结果，考察区间 $[0,1]$ 在单调区间内的相对位置。
   • 当 $a=0$ 时，函数在 $[0,1]$ 上单调递增，最大值在右端点 $x=1$ 处取得。
   • 当 $a<0$ 时，极值点 $x=-\frac{2}{a}>0$。我们需要将这个动态零点与区间右端点 1 进行卡位比较：
     • 若 $-\frac{2}{a}\ge 1⟹a\ge -2$，此时极值点在区间外侧或边缘，函数在 $[0,1]$ 上单调递增。
     • 若 $-\frac{2}{a}<1⟹a<-2$，此时极值点单调落入区间 $(0,1)$ 内部，函数在该极值点左侧递增、右侧递减，故最大值必然在极大值点 $x=-\frac{2}{a}$ 处取得。

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✅【答案】

Success

(1) $a=0$ 时在 $\mathbf{R}$ 上递增；$a<0$ 时在 $\left(-\infty ,-\frac{2}{a}\right)$ 递增、$\left(-\frac{2}{a},+\infty \right)$ 递减

(2) 当 $-2\le a\le 0$ 时最大值 ${\mathrm{e}}^a$；当 $a<-2$ 时最大值 $\frac{4}{a^2{\mathrm{e}}^2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性 已知函数 $f(x)=x^2{\text{e}}^{ax}$，对其应用导数乘法运算法则与复合函数求导法则： $f^{\prime }(x)=(x^2{)}^{\prime }\cdot {\text{e}}^{ax}+x^2\cdot ({\text{e}}^{ax}{)}^{\prime }=2x{\text{e}}^{ax}+a{x}^2{\text{e}}^{ax}=x(ax+2){\text{e}}^{ax}\text{（式1）}$ 由于在实数内指数项恒正，即 ${\text{e}}^{ax}>0$，故 $f^{\prime }(x)$ 的代数符号完全由多项式因式 $g(x)=x(ax+2)$ 的正负决定。 针对已知条件 $a\le 0$，对参数 $a$ 展开分类讨论：

• 情形一：当 $a=0$ 时： 代入（式1）可得： $f^{\prime }(x)=2x$。
  • 令 $f^{\prime }(x)<0⟹x\in (-\infty ,0)$ ；
  • 令 $f^{\prime }(x)>0⟹x\in (0,+\infty )$。 所以，当 $a=0$ 时， $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,0)$ 内严格单调递减，在区间 $(0,+\infty )$ 内严格单调递增。
• 情形二：当 $a<0$ 时： 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得两个相异的导数零点： $x_1=0,x_2=-\frac{2}{a}$ 因为 $a<0$，所以 $-\frac{2}{a}>0$，零点满足严格全序关系： $x_1<x_2$。 由于导数最高次项系数 $a<0$，抛物线 $g(x)=a{x}^2+2x$ 开口向下，其正负分域如下：
  • 当 $x\in (-\infty ,0)\cup \left(-\frac{2}{a},+\infty \right)$ 时， $g(x)<0⟹f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减；
  • 当 $x\in \left(0,-\frac{2}{a}\right)$ 时， $g(x)>0⟹f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增．

第(1)问结论汇总：

• 当 $a=0$ 时， $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty ,0)$，单调递增区间为 $(0,+\infty )$ ；
• 当 $a<0$ 时， $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty ,0)$ 和 $\left(-\frac{2}{a},+\infty \right)$，单调递增区间为 $\left(0,-\frac{2}{a}\right)$．

(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值 结合第（1）问求得的单调性规律，在有界闭区间 $x\in [0,1]$ 上研判最值：

• 支线一：当 $a=0$ 时： 由（1）可知， $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上严格单调递增。 因此，函数在 $[0,1]$ 上同样严格单调递增，最大值在右端点 $x=1$ 处取得： $M_{\text{max}}=f(1)=1^2\cdot {\text{e}}^{0\times 1}=1\text{（式2）}$

• 支线二：当 $a<0$ 时： 由（1）可知，函数在开区间 $\left(0,-\frac{2}{a}\right)$ 内单调递增，在 $\left(-\frac{2}{a},+\infty \right)$ 内单调递减。 极大值点（也是唯一的极值点顶峰）位于 $x=-\frac{2}{a}$。 需要对该极值零点与闭区间右边界 1 的相对位置展开二次分类卡位讨论：

  1. 若 $-\frac{2}{a}\ge 1⟹a\ge -2$： 由于极大值点落在闭区间右侧或边缘，整个闭区间 $[0,1]$ 完整属于单调递增区间 $\left[0,-\frac{2}{a}\right]$ 的子集。 这表明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上表现为单调递增，最大值必然在右端点 $x=1$ 处切入： $M_{\text{max}}=f(1)=1^2\cdot {\text{e}}^{a\times 1}={\text{e}}^a\text{（式3）}$ (注：当 $a=0$ 时， ${\text{e}}^0=1$，与（式2）表达式形式完全兼容，可合并）

  2. 若 $-\frac{2}{a}<1⟹a<-2$： 此时极大值点单调落入闭区间内部，即 $-\frac{2}{a}\in (0,1)$。 根据单调性，函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,-\frac{2}{a}\right]$ 上单调递增，在区间 $\left[-\frac{2}{a},1\right]$ 上单调递减。 因此，最大值在极大值点 $x=-\frac{2}{a}$ 处唯一锁定： $M_{\text{max}}=f\left(-\frac{2}{a}\right)={\left(-\frac{2}{a}\right)}^2\cdot {\text{e}}^{a\cdot \left(-\frac{2}{a}\right)}=\frac{4}{a^2}\cdot {\text{e}}^{-2}=\frac{4}{a^2{\text{e}}^2}\text{（式4）}$

第(2)问结论汇总：

• 当 $-2\le a\le 0$ 时， $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值为 ${\text{e}}^a$ ；
• 当 $a<-2$ 时， $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值为 $\frac{4}{a^2{\text{e}}^2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数恒等性质符号判定（提取恒正项 ${\text{e}}^{ax}$）；含参二次方程零点位置的动态卡位；单调性向最值关系的逻辑映射。
2. 核心方法：分类讨论法、区间卡位分析法。
3. 避坑指南：
   • 第(2)问中最普遍的失分点是忘记将极值点 $-\frac{2}{a}$ 与区间边界 1 进行大小比较：很多学生误以为只要有极值点，最大值就一定等于极值，忽略了当 $-2\le a<0$ 时，极值点其实在区间 $[0,1]$ 的右侧之外，此时区间内根本没有见顶回落的趋势，函数是一路递增到端点 1 的。请牢记导数大题最值铁律：凡是极值点中含有参数，求闭区间最值时，必须无条件将“极值点”与“区间端点”的大小关系作为分类讨论的第一判据，通过画出三种不同卡位状态的草图，可以确保分类不重不漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材中“导数在研究函数中的应用”章节的经典含参压轴解答题，是高考考查分类讨论思想与微积分基础工具应用的最标准母题。
2. 结论推广: 一般地，设运算图形满足 $f(x)=x^m{\text{e}}^{ax}$（$m\in {\mathbf{N}}^{\ast },a\le 0$）。在运算空间内，其导数特征可统一表征为 $f^{\prime }(x)=x^{m-1}(ax+m){\text{e}}^{ax}$。其非零驻点（Stationary point）恒唯一确定在 $x=-\frac{m}{a}$ 处。当研究其在有界凸集 $x\in [0,L]$ 上的局部上确界时，临界分支的判标运算由 $-\frac{m}{a}=L⟹a=-\frac{m}{L}$ 彻底控制。这一特征在概率论与数理统计中属于**伽马分布（Gamma Distribution）及泊松流（Poisson process）**强度极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）的核心底层几何数学解结构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-山西-09 解-导数运算
• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断