2004-湖南理-17 解-诱导公式与两角和与差的正弦公式

本题导读

本题考查二倍角公式与降幂公式。核心在于三角恒等变换法、结构消元求值法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 已知 $\sin \left(\frac{\pi }{4}+2\alpha \right)\cdot \sin \left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)=\frac{1}{4}$， $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，求 $2{\sin }^2\alpha +\tan \alpha -\cot \alpha -1$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（已知条件化简）：利用两角和与差的正弦公式或诱导公式对已知等式左侧进行展开： $\sin \left(\frac{\pi }{4}+2\alpha \right)=\cos \left[\frac{\pi }{2}-\left(\frac{\pi }{4}+2\alpha \right)\right]=\cos \left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)$ 故左侧等价于 $\cos \left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)\cdot \sin \left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)=\frac{1}{2}\cdot 2\sin \left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)\cos \left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\pi }{2}-4\alpha \right)=\frac{1}{2}\cos 4\alpha$。 由此可解出 $\cos 4\alpha$ 的具体数值。
2. 第二步逻辑（求解二倍角恒等性质）：通过二倍角公式 $\cos 4\alpha =2{\cos }^{2}2\alpha -1$，求出 ${\cos }^{2}2\alpha$ 的值。结合已知范围 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)⟹2\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$（第二象限），确定 $\cos 2\alpha <0$ 和 $\sin 2\alpha >0$ 的精确值。
3. 第三步逻辑（目标代数式重组化简）：
   • 将目标式 $2{\sin }^2\alpha -1$ 利用二倍角公式改写为 $-\cos 2\alpha$。
   • 将 $\tan \alpha -\cot \alpha$ 统一转化为弦函数： $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{-\text{cos }2\alpha }{\frac{1}{2}\sin 2\alpha }=-2\cot 2\alpha$。
4. 第四步逻辑（代入数据计算）：将化简后的两部分合并，代入求出的二倍角三角函数值，完成最终算术解答。

✅【答案】

Success

$\frac{5\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

• 化简已知等式求出 $\cos 4\alpha$ 的值： 根据诱导公式，将 $\sin \left(\frac{\pi }{4}+2\alpha \right)$ 转化为余弦函数形式： $\sin \left(\frac{\pi }{4}+2\alpha \right)=\cos \left[\frac{\pi }{2}-\left(\frac{\pi }{4}+2\alpha \right)\right]=\cos \left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)\text{（式1）}$ 将（式1）代入已知条件等式左侧： $\cos \left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)\cdot \sin \left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)=\frac{1}{4}$ 等式两边同时乘以 2，应用正弦二倍角公式： $2\sin \left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)\cos \left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)=2\times \frac{1}{4}⟹\sin \left[2\left(\frac{\pi }{4}-2\alpha \right)\right]=\frac{1}{2}$ 进一步应用诱导公式展开： $\sin \left(\frac{\pi }{2}-4\alpha \right)=\frac{1}{2}⟹\cos 4\alpha =\frac{1}{2}\text{（式2）}$

• 求解二倍角 $\cos 2\alpha$ 与 $\sin 2\alpha$ 的值： 根据余弦二倍角公式，由（式2）建立关于 $2\alpha$ 的方程： $\cos 4\alpha =2{\cos }^{2}2\alpha -1=\frac{1}{2}⟹2{\cos }^{2}2\alpha =\frac{3}{2}⟹{\cos }^{2}2\alpha =\frac{3}{4}\text{（式3）}$

  因为已知 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，对各边界同乘以 2，确定二倍角所在的象限域： $2\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)\text{（即第二象限）}\text{（式4）}$ 在第二象限内，余弦值为负，正弦值为正。结合（式3）开方求得： $\cos 2\alpha =-\sqrt{\frac{3}{4}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{（式5）}$ $\sin 2\alpha =\sqrt{1-{\cos }^{2}2\alpha }=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\text{（式6）}$

• 对目标代数式进行结构化简与求值： 设目标代数式为 $W$，对其进行分项重组： $W=\left(2{\sin }^2\alpha -1\right)+(\tan \alpha -\cot \alpha )\text{（式7）}$

  1. 对第一部分项应用二倍角公式： $2{\sin }^2\alpha -1=-\cos 2\alpha \text{（式8）}$
  2. 对第二部分项进行同角弦切互化变换： $\tan \alpha -\cot \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }$ 分子应用余弦二倍角公式，分母凑正弦二倍角公式： $\tan \alpha -\cot \alpha =\frac{-\cos 2\alpha }{\frac{1}{2}\sin 2\alpha }=-\frac{2\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }\text{（式9）}$

  将（式8）与（式9）合并代回总和式（式7）中，并提取公因式： $W=-\cos 2\alpha -\frac{2\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }=-\cos 2\alpha \cdot \left(1+\frac{2}{\sin 2\alpha }\right)\text{（式10）}$

  将已求出的二倍角精确值（式5） $\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 以及（式6） $\sin 2\alpha =\frac{1}{2}$ 直接代入（式10）中完成最终运算： $W=-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\times \left(1+\frac{2}{\frac{1}{2}}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\times (1+4)=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 5=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用角之间的补角关系进行诱导化简（$\frac{\pi }{4}+2\alpha$ 与 $\frac{\pi }{4}-2\alpha$ 互余）；弦切互化公式在分式通分中的变形技巧。
2. 核心方法：二倍角结构降维法。
3. 避坑指南：
   • 化简已知等式时切忌使用两角和的正弦公式直接暴力强行拆开：由于包含 $\sin 2\alpha$ 和 $\cos 2\alpha$ 的交叉二次乘积，强拆会导致项数极其繁琐。请熟记三角变换高阶恒等性质题眼：凡是遇到 $\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)$ 与 $\left(\frac{\pi }{4}-\theta \right)$ 这种相乘结构，无条件直接使用诱导公式将其转化为互余的弦函数（即转化为 $\cos \varphi \sin \varphi$ 结构），一秒钟即可利用倍角公式收拢为单一项。
   • 开平方求解 $\cos 2\alpha$ 时，务必严格检查区间（式4）所对应的负号，漏掉符号将导致完全错解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材“三角恒等变换”章节的期末复习解答题，侧重于对综合公式链熟练掌握程度的检测。
2. 结论推广: 由 $\tan \alpha -\cot \alpha =\frac{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{-\cos 2\alpha }{\frac{1}{2}\sin 2\alpha }=-2\cot 2\alpha$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标Ⅱ文-06 单-三角恒等变换
• 1977-上海文-04 解-三角计算与正弦定理
• 1977-山西-05 解-三角恒等式证明