2004-湖南理-14 填-古典概型与样本空间

本题导读

本题考查古典概型与样本空间，以及离散型随机变量的分布列。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量 $\xi =1$ 表示结果中有正面向点， $\xi =0$ 表示结果中没有正面向点，则 $E\xi =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（建立样本空间）：同时抛掷两枚均匀硬币，所有可能出现的基元结果构成样本空间。设正面为“正”，反面为“反”，则共有 4 种等可能的基本事件：(正, 正)、(正, 反)、(反, 正)、(反, 反)。
2. 第二步逻辑（求解 $\xi =0$ 的概率）：根据题意， $\xi =0$ 对应“结果中没有正面向点”，即两枚硬币全为反面，基本事件只有 (反, 反) 这 1 种。因此 $P(\xi =0)=\frac{1}{4}$。
3. 第三步逻辑（求解 $\xi =1$ 的概率）： $\xi =1$ 对应“结果中有正面向点”，即至少有一枚为正面，基本事件包括 (正, 正)、(正, 反)、(反, 正) 共 3 种。因此 $P(\xi =1)=\frac{3}{4}$。
4. 第四步逻辑（计算期望值）：利用离散型随机变量的数学期望公式 $E\xi =\sum x_i{P}_i=0\times P(\xi =0)+1\times P(\xi =1)$ 计算结果。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

• 穷举基本事件样本空间： 同时抛掷两枚相同的均匀硬币，其所有可能发生的基本事件集合（样本空间 $\Omega$）为： $\Omega =\{(\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{反})\}$ 基本事件总数为： $N=4\text{（式1）}$

• 确定随机变量 $\xi$ 的概率分布列： 根据题意，随机变量 $\xi$ 只能取 $0$ 和 $1$ 两个离散状态值。

  1. 当 $\xi =0$ 时，表示“结果中没有正面向点”，即两枚硬币均为反面： 满足条件的基本事件仅有 $\{(\text{反},\text{反})\}$ 共 1 种。 $P(\xi =0)=\frac{1}{4}\text{（式2）}$

  2. 当 $\xi =1$ 时，表示“结果中有正面向点”，即包含一个或两个正面： 满足条件的基本事件有 $\{(\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{正})\}$ 共 3 种。 $P(\xi =1)=\frac{3}{4}\text{（式3）}$

  可列出随机变量 $\xi$ 的概率分布列表：

  $\xi$	0	1
  $P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$

• 运用数学期望公式求值： 根据离散型随机变量数学期望的代数定义，将变量取值与其对应发生概率顺次乘积求和： $E\xi =0\times P(\xi =0)+1\times P(\xi =1)$ 将（式2）与（式3）的概率值代入： $E\xi =0\times \frac{1}{4}+1\times \frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

填空题最终答案为： $\frac{3}{4}$（或 0.75）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型中相异基元事件的计数；两点分布（伯努利分布变体）的期望计算公式。
2. 核心方法：样本空间穷举法。
3. 避坑指南：
   • 错把“两枚相同的硬币”误解为无序组合导致样本空间计数错误：部分学生认为同时抛掷两枚相同的硬币时，（正，反）和（反，正）是同一种情况，从而将基本事件总数算作 3 种［(正,正)、(正,反)、(反,反)］，导致概率算错。请牢记概率学铁律：无论物理上这两个硬币多么完全相同、无论是否同时抛掷，在计算古典概型概率时，必须无条件将其视为“非全同的两个独立个体”（即必须区分一号硬币和二号硬币），因此样本空间基数恒锁定为 $2\times 2=4$，绝非 3 种。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材中“概率与统计”章节关于离散型随机变量期望值计算的基础练习题，是高考考查概率基本功的必考母题。
2. 结论推广: 若随机变量 $\xi$ 服从两点分布（取值 $0$ 或 $1$），则 $E\xi =P(\xi =1)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2012-新课标Ⅰ(理)-18 解-离散型随机变量
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-浙江卷理-09 单-数学期望