2004-湖南理-10 单-排列组合与计数原理

本题导读

本题考查排列组合与计数原理，以及立体几何中的三角形分类。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为 ()

A. 56　　　　　　　B. 52　　　　　　　C. 48　　　　　　　D. 40

🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑（求总数）：正方体共有 8 个顶点。从 8 个顶点中任意选出 3 个点，可以构成的三角形总数为 ${\text{C}}_8^3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$。这意味着最终答案必然小于或等于 56。
2. 第二步逻辑（分类研判空间三角形）：任取三个顶点构成的三角形，其边的组成只能由以下三种物理线段拼合而成：正方体的棱（长为 $1$）、表面的对角线（长为 $\sqrt{2}$）、体对角线（长为 $\sqrt{3}$）。通过边的组合，空间三角形只有以下三种异质图形：
   • 类型Ⅰ（三条边均为表面对角线）：边长组合为 $(\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2})$。这显然是一个等边三角形。
   • 类型Ⅱ（两条边为棱，一条边为表面对角线）：边长组合为 $(1,1,\sqrt{2})$。根据勾股定理 $1^2+1^2=(\sqrt{2}{)}^2$，这是一个直角三角形。
   • 类型Ⅲ（一条边为棱，一条边为表面对角线，一条边为体对角线）：边长组合为 $(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$。根据勾股定理 $1^2+(\sqrt{2}{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2$，这同样是一个直角三角形。
3. 第三步逻辑（计数或排除）：
   • 方法一（直接计数）：分别精准计算出类型Ⅱ与类型Ⅲ的数量，求和。
   • 方法二（间接排除）：由于总数只有 56 个，而空间三角形除直角三角形外，只有类型Ⅰ（等边三角形）这一种非直角形态。因此只需计算出等边三角形的个数，用总数减去它即可。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 方法一：间接排除法（推荐，最不易漏数）：

  1. 计算任意抽取 3 个顶点能构成的空间三角形总数： $N_{\text{总}}={\text{C}}_8^3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56\text{（式1）}$

  2. 分析非直角三角形（等边三角形）的数量： 要构成等边三角形，其三条边必须全部由正方体表面的对角线（长度为 $\sqrt{2}$）组成。 正方体共有 6 个面，每个面有 2 条对角线，共计 12 条表面对角线。 通过观察或空间顶角辐射规律，每一个顶点出发有 3 条表面对角线，它们成对连接恰好在空间中围成一个等边三角形。

     • 事实上，正方体的 8 个顶点可以被完整划分为两组，每组 4 个顶点各构成一个正四面体。
     • 每一个正四面体包含 ${\text{C}}_4^3=4$ 个面，每个面都是一个由表面对角线构成的等边三角形。

     因此，正方体内部所有可能的等边三角形个数为： $N_{\text{等边}}=2\times 4=8\text{ 个}\text{（式2）}$

  3. 利用补集思想求直角三角形个数： 由于从 8 个顶点中任取的 3 个点，其构成的空间三角形中除了等边三角形（边长均为 $\sqrt{2}$），其余所有可能的边长人组合均严格满足勾股定理（即 $(1,1,\sqrt{2})$ 和 $(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$ 结构），全部为直角三角形。 用总数（式1）减去等边三角形数（式2）： $N_{\text{直角}}=N_{\text{总}}-N_{\text{等边}}=56-8=48\text{ 个}$

• 方法二：直接分类计数法（核验逻辑）：

  1. 类型Ⅱ直角三角形（边长为 $1,1,\sqrt{2}$）： 这类三角形必须确定在正方体的 6 个表面上。 正方体的每一个面（正方形）有 4 个顶点，任取 3 个点均可构成一个等腰直角三角形（每个正方形包含 4 个小直角三角形）。 正方体共有 6 个面： $N_{\text{类型Ⅱ}}=6\times 4=24\text{ 个}\text{（式3）}$

  2. 类型Ⅲ直角三角形（边长为 $1,\sqrt{2},\sqrt{3}$）： 这类三角形中，有一条边是正方体的棱（长为 1），一条边是表面对角线（长为 $\sqrt{2}$），斜边是体对角线（长为 $\sqrt{3}$）。

     • 正方体共有 12 条棱。
     • 对于任意一条给定的棱，在与之垂直平行的对侧面上，存在 2 个顶点，分别与这条棱的两个端点连线，可以构成 2 个跨面的直角三角形。

     根据乘法原理，此类直角三角形的总数为： $N_{\text{类型Ⅲ}}=12\times 2=24\text{ 个}\text{（式4）}$

  3. 汇总直接计数结果： 将（式3）与（式4）两类直角三角形数量求和： $N_{\text{直角}}=N_{\text{类型Ⅱ}}+N_{\text{类型Ⅲ}}=24+24=48\text{ 个}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数公式 ${\text{C}}_n^m$ 的准确应用；正方体表面对角线与体对角线的空间垂直恒等性质关系（三垂线定理的逆应用）；补集思想在计数中的化简作用。
2. 核心方法：间接排除法（补集法）、直接分类讨论法。
3. 避坑指南：
   • 直接计数时极易漏数“跨面直角三角形（类型Ⅲ）”：绝大多数学生只能数出正方体 6 个表面上的 24 个表面直角三角形，从而在没有 24 这个选项的情况下陷入混乱。请记住立体几何计数铁律：在三维对称体中数多面体或三角形时，首选“补集排除法”。由于算等边三角形只需看表面对角线的封闭环，数量极少（只有 8 个），用总数 56 减去 8 可以在一秒钟之内得到 48，完全避开了直接数跨面三角形时产生的视线叠加和漏数风险。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学排列组合章节中关于“几何图形计数”的经典母题，是高考考查立体想象力与计数原理融合的最高频标准化题目。
2. 结论推广: 正方体 8 个顶点中任取 3 个可构成 $C_8^3=56$ 个三角形。其中直角三角形的个数等于以面对角线为直角边的三角形个数，可结合正方体的对称性分类计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-全国文-05 单-排列计数（五位数）
• 1986-上海文-28 填-排列计数奇数