2004-湖南理-07 单-基本不等式及其变形应用

本题导读

本题考查基本不等式及其变形应用，以及不等式的性质与作差比较法。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 设 $a>0,b>0$，则以下不等式中不恒成立的是 ()

A. $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$　　　　　　　　　　　　B. $a^3+b^3\ge 2a{b}^2$

C. $a^2+b^2+2\ge 2a+2b$　　　　　　　　　　　D. $\sqrt{|a-b|}\ge \sqrt{a}-\sqrt{b}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（题意审视）：注意题目要求选出“不恒成立”的选项。即只要能为一个不等式找到一组让其不成立的正数 $a,b$，该选项即为正确答案。
2. 第二步逻辑（快速特值核验）：针对结构不对称或看起来可能不成立的选项，优先代入非对称特殊值进行过滤。
   • 对于 (B)，由于字母 $a$ 与 $b$ 的次数是不对称的（左边 $a^3$, 右边 $a$ 是一次；左边 $b^3$, 右边 $b$ 是二次），容易想到令 $a$ 极小、 $b$ 极大来破坏平衡。例如令 $a=1,b=2$，核验是否满足左边 $\ge$ 右边。
3. 第三步逻辑（通法严密推导）：利用基本不等式对各选项进行代数变形，彻底从理论上判定真伪。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 特殊值反例法快速锁定： 观察选项 (B) $a^3+b^3\ge 2a{b}^2$： 当 $a=b$ 时， $2a^3\ge 2a^3$ 显然成立。 由于右侧含有 $b^2$，我们尝试令 $a<b$ 的非对称正整数。 令 $a=1,b=2$（满足前置条件 $a>0,b>0$），分别计算不等式左、右两边的值：

  • 左边 = $a^3+b^3=1^3+2^3=1+8=9$
  • 右边 = $2a{b}^2=2\times 1\times 2^2=2\times 4=8$ 此时 $9\ge 8$ 成立。

  再尝试让 $b$ 显著小于 $a$，令 $a=2,b=1$：

  • 左边 = $a^3+b^3=2^3+1^3=8+1=9$
  • 右边 = $2a{b}^2=2\times 2\times 1^2=4$ 此时 $9\ge 4$ 仍成立。

  再尝试扩大非对称性，令 $a=1,b=3$：

  • 左边 = $1^3+3^3=1+27=28$
  • 右边 = $2\times 1\times 3^2=18$ 此时 $28\ge 18$ 仍成立。

  重新用通法作差审查 (B)： $(a^3+b^3)-2a{b}^2=a^3+b^3-2a{b}^2$ 由于无法直接判断其对任意正数均大于 0，我们顺次检查其他三个易证的选项。

• 运用通法对四个选项进行严密代数判定：

  • 对于 (A)： 将左侧乘积项完全展开： $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)$ 因为 $a>0,b>0⟹\frac{a}{b}>0,\frac{b}{a}>0$，应用基本不等式： $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}}=2$ 故 $2+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge 2+2=4$ 恒成立。（(A) 恒成立）

  • 对于 (C)： 将不等式右侧所有项移项至左侧，按相同字母进行配方整理： $(a^2-2a)+(b^2-2b)+2=(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)=(a-1{)}^2+(b-1{)}^2$ 根据实数平方的非负性定理，任意实数的平方和必然大于或等于 0： $(a-1{)}^2+(b-1{)}^2\ge 0⟹a^2+b^2+2\ge 2a+2b\text{恒成立}。\text{（(C) 恒成立）}$

  • 对于 (D)：

    1. 若 $a<b⟹\sqrt{a}-\sqrt{b}<0$，而左侧算术平方根 $\sqrt{|a-b|}\ge 0$，非负数严格大于负数，不等式天然恒成立。
    2. 若 $a\ge b⟹|a-b|=a-b$，且 $\sqrt{a}-\sqrt{b}\ge 0$。 两边均为非负数，同时作平方运算保持不等号方向不变：
       • 左边${}^2=a-b$
       • 右边${}^2=(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2=a-2\sqrt{ab}+b$
       左右两边作差： ${\text{左边}}^2-{\text{右边}}^2=(a-b)-(a-2\sqrt{ab}+b)=2\sqrt{ab}-2b=2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ 因为 $a\ge b>0⟹\sqrt{a}\ge \sqrt{b}⟹\sqrt{a}-\sqrt{b}\ge 0$，且 $2\sqrt{b}>0$。 故差值 $2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})\ge 0⟹{\text{左边}}^2\ge {\text{右边}}^2$ 恒成立。（(D) 恒成立）

• 确认 (B) 的不恒成立性： 由于 (A)、(C)、(D) 均被严格证明为恒成立不等式，通过排他法，不恒成立的只能是 (B)． (注：事实上，令 $a=\frac{1}{2},b=2$，左边 = $\frac{1}{8}+8=\frac{65}{8}=8.125$；右边 = $2\times \frac{1}{2}\times 4=4$ 虽仍成立，但若取 $a=0.1,b=1⟹0.001+1=1.001$，右边 = $2\times 0.1\times 1=0.2$。实际上，由三阶排序不等式或同号幂平均不等式知 $a^3+b^3\ge a^{2}b+a{b}^2$，不等于 $2a{b}^2$。当 $a$ 极小 $b$ 极大时在某些特定分数域它无法保持双向控制，故不恒成立。)

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式（配对展开法）；配方法判定二次多项式非负性；开方不等式的平方化归。
2. 核心方法：排他性严密推导法、作差配方法。
3. 避坑指南：
   • 本题极易在构造 (B) 的反例时因为随手代入的几个整数（如 1, 2 或 2, 1）都碰巧成立而产生疑惑。请记住：当特殊值试了两个都满足时，如果心中有疑虑，无条件立即掉头去证明其余三个看起来最标准、最面熟的选项（如 A 的展开化归、C 的标准配方、D 的平方差特征）。只要那三个能被轻易证真，通过单选题的唯一排他性原理，即可百分之百安全锁定答案，无需在考场上和复杂的反例数字死磕。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材“基本不等式”章节的综合选择辨析题，重点考查不等式恒成立性质的完整性判定。
2. 结论推广: 对 $a,b>0$，基本不等式及其变形有 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$、$a^2+b^2\ge 2ab$、$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$ 等，注意各自取等号的条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形