2004-湖南理-06 单-分段函数的解析式确定

本题导读

本题考查分段函数的解析式确定，以及二次函数的图象与对称性。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2+bx+c,x\le 0\\ 2,x>0\end{array}$，若 $f(-4)=f(0)$， $f(-2)=-2$，则关于 $x$ 的方程 $f(x)=x$ 的解的个数为 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（求待定系数）：当 $x\le 0$ 时， $f(x)=x^2+bx+c$ 是一个二次函数。
   • 已知 $f(-4)=f(0)$，根据二次函数的对称性，其图象（抛物线）的对称轴为 $x=\frac{-4+0}{2}=-2$。由对称轴公式 $-\frac{b}{2\times 1}=-2⟹b=4$。
   • 已知 $f(-2)=-2$，将其代入解析式中： $(-2{)}^2+4\times (-2)+c=-2⟹4-8+c=-2⟹c=2$。
   • 综上，完整的分段函数解析式为： $f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+2,x\le 0\\ 2,x>0\end{array}$。
2. 第二步逻辑（分类讨论求解方程）：将方程 $f(x)=x$ 按自变量分域拆解：
   • 情形一：当 $x\le 0$ 时，方程变形为 $x^2+4x+2=x⟹x^2+3x+2=0$。解方程求出实数根，并严格核验根是否落在定义域 $x\le 0$ 内。
   • 情形二：当 $x>0$ 时，方程变形为 $2=x⟹x=2$。核验是否满足 $x>0$。
3. 第三步逻辑（汇总根的个数）：将两分域内所有合法的不同实数根的数量进行求和。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 运用待定系数法与对称性确定函数解析式： 当 $x\le 0$ 时，函数 $f(x)=x^2+bx+c$。 因为 $f(-4)=f(0)$，由二次函数轴对称性质可知，抛物线的对称轴为： $x=\frac{-4+0}{2}=-2$ 根据对称轴公式 $-\frac{b}{2a}=-2$，代入 $a=1$： $-\frac{b}{2}=-2⟹b=4\text{（式1）}$

  又已知 $f(-2)=-2$，将 $b=4$ 及点 $(-2,-2)$ 代入二次函数式中： $(-2{)}^2+4\times (-2)+c=-2⟹4-8+c=-2⟹c=2\text{（式2）}$

  将（式1）与（式2）的系数代回，确定完整的分段函数解析式为： $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+4x+2,& x\le 0\\ 2,& x>0\end{array}\text{（式3）}$

• 分类讨论求解方程 $f(x)=x$ 的实数根：

  1. 当 $x\le 0$ 时： 方程 $f(x)=x$ 等价于： $x^2+4x+2=x⟹x^2+3x+2=0$ 利用因式分解法（十字相乘法）： $(x+1)(x+2)=0⟹x_1=-1,x_2=-2$ 经核验，两个根 $x_1=-1$ 和 $x_2=-2$ 均严格满足前置约束条件 $x\le 0$。 因此，在此分域内方程有 2 个合法的解。

  2. 当 $x>0$ 时： 方程 $f(x)=x$ 等价于： $2=x⟹x_3=2$ 经核验，根 $x_3=2$ 严格满足前置约束条件 $x>0$。 因此，在此分域内方程有 1 个合法的解。

• 汇总最终解的个数： 综合上述两种独立情形，方程 $f(x)=x$ 在实数内的不同实数根分别为 $-1,-2,2$。 解的总个数为： $2+1=3\text{ 个}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由特定相异点函数值相等求二次函数对称轴（$x=\frac{x_1+x_2}{2}$）；分段函数方程求解中的定义域域判定。
2. 核心方法：数形结合法、分类讨论法。
3. 避坑指南：
   • 极易遗漏对求得的根进行分段定义域边界核验：凡是求解分段函数的方程，求出各分支的代数解后，必须无条件回头看该分支的前置限制（如 $x\le 0$ 或 $x>0$）。虽然本题算出的三个根 $-1,-2,2$ 恰好全部符合各自的分段区间，但如果养成了不核验的习惯，一旦某分支算出的根超出了该段的定义域范围，该根就属于无效的伪根，必须舍去。本题规范流程必须包含区间符合性判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材中“分段函数与映射”章节的典型课后提高题，属于考查函数基本功与数形结合思想的标准常考题。
2. 结论推广: 方程 $f(x)=x$ 的解的个数等于 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=x$ 的交点个数，可通过画图直观判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-25 单-反函数的图象
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性