2004-湖北理-20 解-直线与双曲线的位置关系

本题导读

本题考查直线与双曲线的位置关系。核心在于联立方程判别式与根的分布控制法、向量点积代数化归法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 直线 $l:y=kx+1$ 与双曲线 $C:2x^2-y^2=1$ 的右支交于不同的两点 $A、B$.

(1) 求实数 $k$ 的取值范围；

(2) 是否存在实数 $k$，使得以线段 $AB$ 为直径的圆经过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问逻辑：将直线 $y=kx+1$ 代入双曲线方程 $2x^2-y^2=1$，整理成关于 $x$ 的一元二次方程 $(2-k^2)x^2-2kx-2=0$。要满足交于“不同的两点”，需二次项系数 $2-k^2\ne 0$ 且判别式 $\Delta >0$。要满足两点“均在右支”，意味着方程的两个实数根 $x_1,x_2$ 必须严格全为正数，转化为代数控制条件为 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}$，联立不等式组求解。
2. 第二问逻辑：首先写出双曲线的右焦点 $F(c,0)$。根据圆的几何性质，“以 $AB$ 为直径的圆经过点 $F$”等价于 $\angle AFB=90^{\circ }$，即向量 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=0$。利用坐标写出该数量积，并套用第一问的韦达定理将其完全化为关于 $k$ 的代数方程，求出 $k$ 后必须严格对照第一问的定义域范围进行裁剪。

✅【答案】

Success

(1) $k\in \left(-2,-\sqrt{2}\right)$

(2) 存在，$k=\frac{-6-\sqrt{6}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

• （1）求实数 $k$ 的取值范围： 将直线方程 $y=kx+1$ 代入双曲线方程 $2x^2-y^2=1$ 中： $2x^2-(kx+1{)}^2=1⟹2x^2-(k^2{x}^2+2kx+1)=1$ 移项整理得关于 $x$ 的一元二次方程： $(2-k^2)x^2-2kx-2=0\text{（式1）}$

  设直线与双曲线右支的两个不同交点坐标为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $x_1,x_2$ 是方程（式1）的两个相异正实根。 因此，参数 $k$ 必须完整满足下列不等式组： $\{\begin{array}{ll}2-k^2\ne 0& \text{(二次项系数不为0)}\\ \Delta =(-2k{)}^2-4(2-k^2)(-2)>0& \text{(有两个互异实根)}\\ x_1+x_2=\frac{2k}{2-k^2}>0& \text{(两根之和为正)}\\ x_1{x}_2=\frac{-2}{2-k^2}>0& \text{(两根之联乘积为正)}\end{array}$

  逐一化简各不等式：

  1. 由 $x_1{x}_2=\frac{-2}{2-k^2}>0⟹2-k^2<0⟹k^2>2$ ；
  2. 将 $2-k^2<0$ 代入两根之和式中： $x_1+x_2=\frac{2k}{2-k^2}>0⟹2k<0⟹k<0$ ；
  3. 计算并化简判别式 $\Delta$： $\Delta =4k^2+8(2-k^2)=4k^2+16-8k^2=16-4k^2$ 令 $\Delta >0⟹16-4k^2>0⟹k^2<4$ 。

  综合上述所有核心边界链： $\{\begin{array}{l}{k}^2>2\\ k^2<4\\ k<0\end{array}⟹2<k^2<4\text{且}k<0⟹-2<k<-\sqrt{2}$

  实数 $k$ 的取值范围是 $(-2,-\sqrt{2})$。

• （2）探究是否存在实数 $k$ 满足圆经过右焦点 $F$： 对于双曲线 $2x^2-y^2=1$，标准方程改写为 $\frac{x^2}{\frac{1}{2}}-\frac{y^2}{1}=1$， 可知 $a^2=\frac{1}{2},b^2=1⟹c^2=a^2+b^2=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。 则其右焦点坐标为： $F\left(\frac{\sqrt{6}}{2},0\right)\text{（即 }c=\frac{\sqrt{6}}{2}\text{）}$

  以线段 $AB$ 为直径的圆经过点 $F$，根据圆周角定理，等位映射为： $FA\perp FB⟹\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=0\text{（式2）}$ 已知 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则向量坐标表示为： $\overrightarrow{FA}=(x_1-c,y_1),\overrightarrow{FB}=(x_2-c,y_2)$ 展开数量积方程（式2）： $(x_1-c)(x_2-c)+y_1{y}_2=0⟹x_1{x}_2-c(x_1+x_2)+c^2+y_1{y}_2=0\text{（式3）}$

  由于 $A,B$ 在直线上，将 $y_1=k{x}_1+1,y_2=k{x}_2+1$ 乘积项展开： $y_1{y}_2=(k{x}_1+1)(k{x}_2+1)=k^2{x}_1{x}_2+k(x_1+x_2)+1$ 代入（式3）中，按韦达定理项合并： $(1+k^2)x_1{x}_2+(k-c)(x_1+x_2)+c^2+1=0\text{（式4）}$

  根据（式1）的韦达定理结构，代入各对应项： $x_1+x_2=\frac{2k}{2-k^2},x_1{x}_2=\frac{-2}{2-k^2},且c^2=\frac{3}{2}$ 代入（式4）中： $(1+k^2)\left(\frac{-2}{2-k^2}\right)+(k-c)\left(\frac{2k}{2-k^2}\right)+\frac{3}{2}+1=0$ 各项同乘以公分母 $(2-k^2)$： $-2(1+k^2)+2k(k-c)+\frac{5}{2}(2-k^2)=0$ 展开并合并同类项： $-2-2k^2+2k^2-2ck+5-\frac{5}{2}{k}^2=0⟹3-2ck-\frac{5}{2}{k}^2=0$ 两边同乘以 2 并将 $c=\frac{\sqrt{6}}{2}$ 代入： $5k^2+4\cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)k-6=0⟹5k^2+2\sqrt{6}k-6=0\text{（式5）}$

  解此关于 $k$ 的一元二次方程，利用求根公式： $k=\frac{-2\sqrt{6}\pm \sqrt{(2\sqrt{6}{)}^2-4\times 5\times (-6)}}{2\times 5}=\frac{-2\sqrt{6}\pm \sqrt{24+120}}{10}=\frac{-2\sqrt{6}\pm \sqrt{144}}{10}=\frac{-2\sqrt{6}\pm 12}{10}$ 分离得到两个根： $k_1=\frac{-2\sqrt{6}+12}{10}=\frac{6-\sqrt{6}}{5},k_2=\frac{-2\sqrt{6}-12}{10}=\frac{-6-\sqrt{6}}{5}$

  将求得的解与第（1）问的合法取值范围 $(-2,-\sqrt{2})$ 进行严格核验：

  • 因为 $\sqrt{6}\approx 2.45⟹k_1=\frac{6-2.45}{5}=0.71>0$，显然不在区间内，舍去。
  • 对于 $k_2=\frac{-6-\sqrt{6}}{5}\approx \frac{-6-2.45}{5}=\frac{-8.45}{5}=-1.69$。 因为 $-2<-1.69$ 且 $-1.69<-\sqrt{2}\approx -1.414$，即 $-2<k_2<-\sqrt{2}$ 严格成立。

  答：存在满足条件的实数 $k$，其精确值为 $\frac{-6-\sqrt{6}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次曲线单支交点（正根约束）的韦达定理恒等性质控制；直径圆几何量向平面向量正交性的转化。
2. 核心方法：韦达定理代数控制法、向量点积法。
3. 避坑指南：
   • 第一问极易漏掉 $x_1+x_2>0$ 和 $x_1{x}_2>0$ 导致定义域无限扩大：如果只满足判别式 $\Delta >0$，算出的范围是 $(-2,2)$，这包含了直线与双曲线左、右两支各交一个点的情形。题目明确要求“交于右支”，必须强制两根全为正数，从而筛选出负半轴范围 $(-2,-\sqrt{2})$。
   • 第二问求得 $k$ 的两个根后，切勿不加检验直接全部输出。必须将数值与第一问的定义域进行严密比对，无条件舍弃正根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是经典的高考圆锥曲线压轴解答题，其本质属于“直线与双曲线的单支相交及直径圆恒过定点”的几何动能问题。
2. 结论推广: 判断直线与双曲线交于两支还是一支，可联立方程后看判别式 $\Delta$ 及两根的符号：两根同号交于一支，异号交于两支。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.17 非对称韦达题型总结

类题演练 (Links)

• 1977-山西-06 解-韦达定理与三角
• 1983-全国文-06 解-方程表示图形与作图
• 1988-广东理-32 解-双曲线的几何性质