2004-湖北理-17 解-同角三角函数基本关系

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系。核心在于齐次式化切法、三角变换求值法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 已知 $6{\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha -2{\cos }^2\alpha =0$， $\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，求 $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：由于已知等式左侧为关于 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的二次齐次式，且由 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 知 $\cos \alpha \ne 0$。方程两边同除以 ${\cos }^2\alpha$，将其转化为关于 $\tan \alpha$ 的一元二次方程： $6{\tan }^2\alpha +\tan \alpha -2=0$。
2. 第二步逻辑：利用十字相乘法分解因式，解出 $\tan \alpha$ 的可能取值。结合已知角 $\alpha$ 在第二象限，正切值必为负数，从而确定 $\tan \alpha$ 的确切值。
3. 第三步逻辑：利用万能公式或同角三角函数基本关系求出倍角 $\sin 2\alpha$ 与 $\cos 2\alpha$ 的值。
4. 第四步逻辑：利用两角和的正弦公式将目标式 $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$ 展开为 $\sin 2\alpha \cos \frac{\pi }{3}+\cos 2\alpha \sin \frac{\pi }{3}$，代入已知值完成计算。

✅【答案】

Success

$\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$

✍【详细解析】

Abstract

• 方程化简求出 $\tan \alpha$： 已知 $6{\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha -2{\cos }^2\alpha =0$。 因为 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，若 $\cos \alpha =0$，则 $\alpha =\frac{\pi }{2}$，代入原式得 $6\ne 0$，不成立。 故 $\cos \alpha \ne 0$。方程两边同时除以 ${\cos }^2\alpha$： $6\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{\sin \alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }-2=0⟹6{\tan }^2\alpha +\tan \alpha -2=0$ 利用十字相乘法对左侧进行因式分解： $(2\tan \alpha -1)(3\tan \alpha +2)=0⟹\tan \alpha =\frac{1}{2}\text{或}\tan \alpha =-\frac{2}{3}$ 因为 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$（第二象限或边界），在此区间内正切值 $\tan \alpha \le 0$， 故舍去正值，确定： $\tan \alpha =-\frac{2}{3}\text{（式1）}$

• 计算二倍角 $\sin 2\alpha$ 与 $\cos 2\alpha$ 的值： 利用万能公式由 $\tan \alpha$ 表达二倍角： $\sin 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{2\times \left(-\frac{2}{3}\right)}{1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{-\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{9}}=\frac{-\frac{4}{3}}{\frac{13}{9}}=-\frac{12}{13}\text{（式2）}$ $\cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2}{1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{1-\frac{4}{9}}{\frac{13}{9}}=\frac{\frac{5}{9}}{\frac{13}{9}}=\frac{5}{13}\text{（式3）}$

• 目标代数式展开与计算： 应用两角和的正弦公式展开目标式： $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\sin 2\alpha \cos \frac{\pi }{3}+\cos 2\alpha \sin \frac{\pi }{3}$ 将标准特殊角函数值 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 以及（式2）、（式3）的结果代入： $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\left(-\frac{12}{13}\right)\times \frac{1}{2}+\frac{5}{13}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{12}{26}+\frac{5\sqrt{3}}{26}=\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次齐次式化切方程的通用策略；万能公式在弦切转换中的应用；两角和的正弦展开式。
2. 核心方法：齐次式化切法。
3. 避坑指南：
   • 在求得 $\tan \alpha$ 的两个根后，切勿漏掉利用象限条件 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 进行符号甄别，若误保留 $\frac{1}{2}$ 会导致最终结果错误。
   • 计算二倍角时，若不使用万能公式，亦可先由 $\tan \alpha =-\frac{2}{3}$ 及 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 求出 $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13},\cos \alpha =-\frac{3\sqrt{13}}{13}$，再利用倍角公式计算，但计算量相对较大，易产生算术笔误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材“三角恒等变换”章节的常规课后解答题，是高考对三角求和、倍角公式等基础变换能力考查的标配标准题。
2. 结论推广: 一般地，对于二次齐次式方程 $A{\sin }^2\alpha +B\sin \alpha \cos \alpha +C{\cos }^2\alpha =0$，其本质是射影平面上的一维二次型。通过同除以 ${\cos }^2\alpha$ 可完美映射为代数域上的一元二次方程 $A{\tan }^2\alpha +B\tan \alpha +C=0$。只要判别式 $B^2-4AC\ge 0$，该方程在实数轴上恒有解，其诱导的二倍角可以通过万能公式有理化运算直接线性表示。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2019-天津卷理-15 解-解三角形
• 1955-全国-04 解-解三角方程cos2x
• 1977-江西-07 填-二倍角求角