2004-湖北理-16 填-导数应用

本题导读

本题考查导数的实际应用，以及空间直角坐标建模。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 某日中午 12 时整，甲船自 $A$ 处以 $16\text{ km/h}$ 的速度向正东行驶，乙船自 $A$ 的正北 $18\text{ km}$ 处以 $24\text{ km/h}$ 的速度向正南行驶，则当日 12 时 30 分时两船之距离对时间的变化率是 $\underline{}$ $\text{km/h}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立平面运动坐标系：以 $A$ 处为坐标原点 $(0,0)$，正东方向为 $x$ 轴正方向，正北方向为 $y$ 轴正方向。
2. 写出动态坐标随时间的变化历程：设从中午 12 时整开始计时，经历的时间为 $t$（小时）。
   • 甲船从原点出发向正东行驶，速度为 $16$，其坐标为 $M_1(16t,0)$。
   • 乙船从正北 $18$ 处向正南行驶，速度为 $24$，其坐标为 $M_2(0,18-24t)$。
3. 建立距离函数并求导：由两点间距离公式，两船距离 $s(t)=\sqrt{(16t{)}^2+(18-24t{)}^2}$。题目所求“距离对时间的变化率”即为导数 $\frac{\text{d}s}{\text{d}t}$。
4. 特定时刻代入计算： 12 时 30 分对应时间 $t=0.5\text{ h}$。分别计算出 $t=0.5$ 时两船的相对位置坐标，代入导数解析式中即可求出最终的变化率。

✅【答案】

Success

$-1.6$

✍【详细解析】

Abstract

• 建立运动坐标系与距离解析式： 以 $A$ 处为直角坐标系原点 $O(0,0)$，正东方向为 $x$ 轴正方向，正北方向为 $y$ 轴正方向。 设从中午 12 时整开始计时的行驶时间为 $t$（单位： $\text{h}$）。

  • 甲船的即时位置坐标为： $P_{\text{甲}}(16t,0)$
  • 乙船的即时位置坐标为： $P_{\text{乙}}(0,18-24t)$

  设两船在任意时刻 $t$ 的直线距离为 $s$（单位： $\text{km}$），根据直角三角形勾股定理： $s^2=(16t{)}^2+(18-24t{)}^2\text{（式1）}$

• 运用隐函数（复合函数）微分法求变化率： 在（式1）等式左右两边同时对时间变量 $t$ 进行求导（注意左边应用链式法则）： $2s\cdot \frac{\text{d}s}{\text{d}t}=2(16t)\cdot 16+2(18-24t)\cdot (-24)$ 两边约去常数系数 2，变形整理出距离变化率的代数通式： $\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=\frac{256t-24(18-24t)}{s}\text{（式2）}$

• 代入 12 时 30 分（即 $t=0.5\text{ h}$）的特定临界值： 当时间为 12 时 30 分时，经历的时间长度为 $t=0.5\text{ h}$。

  1. 计算此时甲、乙两船各自相对于原点的位置分量： $x_{\text{甲}}=16\times 0.5=8\text{ km}$ $y_{\text{乙}}=18-24\times 0.5=18-12=6\text{ km}$
  2. 计算此时两船的绝对直线距离 $s$： $s=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{ km}\text{（式3）}$
  3. 将 $t=0.5,s=10$ 及各分量代入导数方程（式2）中： $\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=\frac{16\times 8-24\times 6}{10}=\frac{128-144}{10}=\frac{-16}{10}=-1.6$

填空题最终答案为： $-1.6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面运动学问题向一维微分方程的转化；复合函数（隐函数）微分求导法则；相关变化率（Related Rates）的物理意义。
2. 核心方法：动态轨迹法、隐函数微分法。
3. 避坑指南：
   • 遗漏变化率符号的物理学与数学代数含义：本题算出的最终结果是 $-1.6$，负号绝对不能漏掉！导数的正负号表征了函数增减的方向。负号代表此时两船之间的距离正在以 $1.6\text{ km/h}$ 的速率严格缩小（因为乙船向南开，在半小时的时候还没跨过 $A$ 点，两船正在相互接近）。如果填成正数 $1.6$，由于物理方向反转，属于严重概念错误。
   • 严禁先代入 $t=0.5$ 计算出常数距离 $s=10$ 再求导。应先求出距离对时间的导数解析式，最后一步再把特定时刻的值代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数的实际应用，考查建立平面运动模型并求距离关于时间的变化率。
2. 结论推广: 两点距离 $s(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}$ 对时间求导得 $\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }}{s}$；求某一时刻的变化率，应先求出导数解析式，再代入该时刻的坐标与速度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 1977-山西-09 解-导数运算
• 1977-吉林-13 解-导数运算
• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省