2004-湖北理-07 单-指数函数的单调性与最值

本题导读

本题考查指数函数的单调性与最值，以及对数函数的单调性与最值。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 函数 $f(x)=a^x+{\log }_a(x+1)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值与最小值之和为 $a$，则 $a$ 的值为 ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析单调性：底数满足 $a>0$ 且 $a\ne 1$。
   • 若 $a>1$，$y=a^x$ 与 $y={\log }_a(x+1)$ 均递增，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上递增；
   • 若 $0<a<1$，两者均递减，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上递减。
2. 最值转化：无论哪种情况 $f(x)$ 都单调，故最大值与最小值分别在两端点取得，最值之和等于 $f(0)+f(1)=a$。
3. 解方程：代入端点函数值建立关于 $a$ 的方程求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 确定最值位置 由 $y=a^x$ 与 $y={\log }_a(x+1)$ 的单调性： 当 $a>1$ 时，两函数均在 $[0,1]$ 上递增，故 $f(x)$ 递增； 当 $0<a<1$ 时，两函数均在 $[0,1]$ 上递减，故 $f(x)$ 递减。

  因此无论底数 $a$ 取值如何，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上都是单调函数，最大值 $M$ 与最小值 $m$ 在两端点处取得： $M+m=f(0)+f(1)$

• 代入端点值建立方程 由题意： $f(0)+f(1)=a\text{（式1）}$ 分别计算端点值： $f(0)=a^0+{\log }_a(0+1)=1+{\log }_{a}1=1+0=1$ $f(1)=a^1+{\log }_a(1+1)=a+{\log }_{a}2$ 代入（式1）： $1+(a+{\log }_{a}2)=a$

• 解方程求 $a$ 两边消去 $a$： $1+{\log }_{a}2=0⟹{\log }_{a}2=-1$ 化为指数式： $a^{-1}=2⟹\frac{1}{a}=2⟹a=\frac{1}{2}$ 且 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，满足对数底数条件。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同底数的指数函数与对数函数单调性一致；单调函数在闭区间上的最值在端点处取得。
2. 核心方法：端点最值法、单调性判定法。
3. 避坑指南：
   • 本题不必对 $a>1$ 和 $0<a<1$ 分别讨论。因两部分函数的增减方向始终一致，最值之和恒为两端点函数值之和，直接令 $f(0)+f(1)=a$ 即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查指数函数与对数函数的综合应用，属中等难度概念题。
2. 结论推广: 形如 $f(x)=a^x+{\log }_a(x+\alpha )$ 的函数，若 $a$ 与 ${\log }_a$ 同底，则其单调性与底数 $a$ 的范围一致；在闭区间上的最值之和等于两端点函数值之和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1985-广东理-17 单-对数函数的单调性
• 1986-全国文-05 单-指数式的大小比较