2004-浙江理-21 解-点到直线的距离公式

本题导读

本题考查点到直线的距离公式。核心在于坐标代数运算法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 已知双曲线的中心在原点，右顶点为 $A(1,0)$，点 $P$、 $Q$ 在双曲线的右支上，点 $M(m,0)$ 到直线 $AP$ 的距离为 1.

(1) 若直线 $AP$ 的斜率为 $k$，且 $|k|\in \left[\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right]$，求实数 $m$ 的取值范围；

(2) 当 $m=\sqrt{2}+1$ 时， $△APQ$ 的内心恰好是点 $M$，求此双曲线的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：写出过 $A(1,0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $AP$ 的方程 $kx-y-k=0$。利用点 $M(m,0)$ 到该直线的距离等于 1 列出方程，反解出 $k^2$ 与 $m$ 的关系式，再根据 $k^2\in \left[\frac{1}{3},3\right]$ 求解 $m$ 的范围。
2. 第二问：由于内心 $M(\sqrt{2}+1,0)$ 在 $x$ 轴上，且 $A(1,0)$ 也在 $x$ 轴上，根据对称性可知 $x$ 轴为 $\angle PAQ$ 的角平分线，从而有 $k_{AP}=-k_{AQ}=k$。代入 $m=\sqrt{2}+1$ 到第一问关系式中求出 $k^2=1$。再利用内心到三边距离相等（均为 1），通过 $x_{PQ}-x_M=1$ 确定 $PQ$ 的标准方程，最后与双曲线联立求出基本量 $b^2$。

✅【答案】

Success

(1) $m\in \left[-1,1-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]\cup \left[1+\frac{2\sqrt{3}}{3},3\right]$

(2) $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$（其中 $b$ 满足相应条件）

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 求实数 $m$ 的取值范围

因为直线 $AP$ 过点 $A(1,0)$ 且斜率为 $k$，所以直线 $AP$ 的方程为： $y=k(x-1)⟹kx-y-k=0$ 根据点到直线的距离公式，点 $M(m,0)$ 到直线 $AP$ 的距离为： $d=\frac{|km-0-k|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k(m-1)|}{\sqrt{k^2+1}}=1$ 两边平方化简： $k^2(m-1{)}^2=k^2+1⟹k^2\left[(m-1{)}^2-1\right]=1$ 由此可得： $k^2=\frac{1}{(m-1{)}^2-1}$ 因为 $|k|\in \left[\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right]$，所以 $k^2\in \left[\frac{1}{3},3\right]$，即： $\frac{1}{3}⩽\frac{1}{(m-1{)}^2-1}⩽3$ 两边取倒数，不等号改变方向： $\frac{1}{3}⩽(m-1{)}^2-1⩽3$ 各部分同时加 1： $\frac{4}{3}⩽(m-1{)}^2⩽4$ 开平方求解 $m-1$ 的范围：

• 当 $m-1>0$ 时， $\frac{2\sqrt{3}}{3}⩽m-1⩽2⟹1+\frac{2\sqrt{3}}{3}⩽m⩽3$；
• 当 $m-1<0$ 时， $-2⩽m-1⩽-\frac{2\sqrt{3}}{3}⟹-1⩽m⩽1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

综上所述，实数 $m$ 的取值范围为 $\left[-1,1-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]\cup \left[1+\frac{2\sqrt{3}}{3},3\right]$。

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(2) 求此双曲线的方程

设双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$。 因为右顶点为 $A(1,0)$，所以 $a=1$，双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$。

当 $m=\sqrt{2}+1$ 时，将其代入第 (1) 问的距离恒等式中： $k^2=\frac{1}{(\sqrt{2}+1-1{)}^2-1}=\frac{1}{(\sqrt{2}{)}^2-1}=1$ 因为 $△APQ$ 的内心 $M$ 在 $x$ 轴上，由对称性可知 $k_{AP}$ 与 $k_{AQ}$ 互为相反数。 取 $k_{AP}=1$（取负值结果相同），则直线 $AP$ 的方程为 $y=x-1$。

联立直线 $AP$ 与双曲线方程： $\{\begin{array}{l}y=x-1\\ x^2-\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}⟹x^2-\frac{(x-1{)}^2}{b^2}=1⟹(b^2-1)x^2+2x-(b^2+1)=0$ 因为 $A(1,0)$ 是其中一个交点，显然 $x=1$ 是该方程的一个实根。由韦达定理 $x_A\cdot x_P=1\times x_P=\frac{-(b^2+1)}{b^2-1}$，得： $x_P=\frac{1+b^2}{1-b^2}$ 由于点 $P,Q$ 关于 $x$ 轴对称，故直线 $PQ$ 垂直于 $x$ 轴，其直线方程为 $x=\frac{1+b^2}{1-b^2}$。

因为 $M(\sqrt{2}+1,0)$ 是 $△APQ$ 的内心，内切圆半径为 1，所以内心 $M$ 到直线 $PQ$ 的距离也必须严格等于 1。 由图象位置可知 $x_A<x_M<x_{PQ}$，故： $x_{PQ}-x_M=1⟹\frac{1+b^2}{1-b^2}-(\sqrt{2}+1)=1$ $\frac{1+b^2}{1-b^2}=2+\sqrt{2}$ 去分母展开： $1+b^2=(2+\sqrt{2})(1-b^2)⟹(3+\sqrt{2})b^2=1+\sqrt{2}$ $b^2=\frac{1+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{(1+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}=\frac{3-\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2}{9-2}=\frac{1+2\sqrt{2}}{7}$

将 $a^2=1$ 和 $b^2=\frac{1+2\sqrt{2}}{7}$ 代入，得双曲线方程为： $x^2-\frac{7y^2}{1+2\sqrt{2}}=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点线距离公式、利用韦达定理求弦端点、内心到三边距离相等。
2. 核心方法：对称降维法、两点距离化简法。
3. 避坑指南：
   • 第二问中不要漏掉 $A(1,0)$ 这个已知根。在联立直线与双曲线后，利用 $x_A=1$ 结合韦达定理可以瞬间口算出 $x_P$，若强行用求根公式展开会带来庞大的计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典Gaokao圆锥曲线压轴题，巧妙地将三角形的内心（几何性质）与双曲线参数融合。
2. 结论推广: 对于右顶点为 $(1,0)$ 的双曲线，若直线 $AP,AQ$ 的斜率互为相反数（即关于 $x$ 轴对称），其相交垂直弦 $PQ$ 的横坐标恒满足通式 $x=\frac{k^2+b^2}{k^2-b^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程
• 2013-福建卷文-04 单-双曲线渐近线距离
• 1952-全国-19 填-原点到直线的距离