2004-浙江理-17 解-三角形内角和定理与诱导公式

本题导读

本题考查二倍角公式与降幂公式。核心在于三角恒等变换法、代数不等式最值法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A、B、C$ 所对的边分别为 $a、b、c$，且 $\cos A=\frac{1}{3}$.

(1) 求 ${\sin }^2\frac{B+C}{2}+\cos 2A$ 的值；

(2) 若 $a=\sqrt{3}$，求 $bc$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用 $B+C=\pi -A$ 将前项转化为 ${\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\right)={\cos }^2\frac{A}{2}$。利用半角/降幂公式化为关于 $\cos A$ 的一次式，后项 $\cos 2A$ 用倍角公式化为关于 $\cos A$ 的二次式，最后代入 $\cos A=\frac{1}{3}$ 计算。
2. 第二问：已知 $a$ 和 $\cos A$，直接代入余弦定理公式 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 建立关于 $b,c$ 的方程。再利用基本不等式 $b^2+c^2⩾2bc$ 将 $b^2+c^2$ 放大，从而解出 $bc$ 的最大值。

✅【答案】

Success

(1) $-\frac{1}{9}$

(2) $\frac{9}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 求 ${\sin }^2\frac{B+C}{2}+\cos 2A$ 的值

在 $△ABC$ 中，因为 $A+B+C=\pi$，所以 $B+C=\pi -A$。 将其代入目标式的前项，由三角函数诱导公式可得： $\sin \frac{B+C}{2}=\sin \frac{\pi -A}{2}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\right)=\cos \frac{A}{2}$ 进而有： ${\sin }^2\frac{B+C}{2}={\cos }^2\frac{A}{2}$

利用降幂公式与二倍角公式，将目标式完全化为以角 $A$ 为自变量的表达式： ${\cos }^2\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{2}$ $\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1$

将上述化简结果合并，原目标式转化为： ${\sin }^2\frac{B+C}{2}+\cos 2A=\frac{1+\cos A}{2}+2{\cos }^{2}A-1=2{\cos }^{2}A+\frac{1}{2}\cos A-\frac{1}{2}$

将已知的 $\cos A=\frac{1}{3}$ 代入上式中进行计算： $\text{原式}=2\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{2}$ $\text{原式}=2\times \frac{1}{9}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=\frac{2}{9}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}$ 通分（最小公倍数为 18）： $\text{原式}=\frac{4+3-9}{18}=\frac{-2}{18}=-\frac{1}{9}$

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(2) 若 $a=\sqrt{3}$，求 $bc$ 的最大值

根据余弦定理，对于 $△ABC$ 的三边满足关系式： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 将已知条件 $a=\sqrt{3}$ 和 $\cos A=\frac{1}{3}$ 代入上式： $(\sqrt{3}{)}^2=b^2+c^2-2bc\times \frac{1}{3}$ $3=b^2+c^2-\frac{2}{3}bc$

根据基本不等式（均值不等式），对任意正数 $b,c$ 恒有 $b^2+c^2⩾2bc$（当且仅当 $b=c$ 时等号成立）。 将此不等式代入上式中，放缩得到： $3=b^2+c^2-\frac{2}{3}bc⩾2bc-\frac{2}{3}bc$ $3⩾\frac{4}{3}bc$

两边同时乘以 $\frac{3}{4}$ 隔离出 $bc$： $bc⩽3\times \frac{3}{4}⟹bc⩽\frac{9}{4}$

当且仅当 $b=c=\frac{3}{2}$ 时，上述不等式中的等号成立。 因此， $bc$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：角 $B+C$ 与 $A$ 的补角诱导变换、倍角公式的展开选择、余弦定理与基本不等式的联合放缩。
2. 核心方法：两阶降幂整体代换法、齐次不等式最值法。
3. 避坑指南：
   • 第二问放缩时切勿弄反不等号方向。由 $3=(b^2+c^2)-\frac{2}{3}bc$，因为替换项满足 $(b^2+c^2)⩾2bc$，所以原式等号右侧变小，整体满足 $3⩾2bc-\frac{2}{3}bc$。粗心大意极易在此处写反符号导致无法求出最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考解答题第一题，侧重考查基础三角函数公式和初等代数放缩。
2. 结论推广: 一般地，在 $△ABC$ 中，已知边 $a$ 及其对角的余弦值 $\cos A(A\text{ 为锐角})$，由余弦定理和均值不等式可直接推导出边长乘积 $bc$ 的最大值通用解析式： $bc⩽\frac{a^2}{2(1-\cos A)}$。代入本题参数验证： $bc⩽\frac{(\sqrt{3}{)}^2}{2\left(1-\frac{1}{3}\right)}=\frac{3}{2\times \frac{2}{3}}=\frac{9}{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-13 填-余弦定理
• 1956-全国-05 解-等差角等比边定正三角形
• 1977-宁夏-15 解-正六边形面积不等式