2004-浙江理-12 单-复合函数与性质

本题导读

本题考查复合函数的概念与性质，以及方程有实数解的判定。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是定义在实数集 $\mathbf{R}$ 上的函数，且方程 $x-f[g(x)]=0$ 有实数解，则 $g[f(x)]$ 不可能是 ()

A. $x^2+x-\frac{1}{5}$　　B. $x^2+x+\frac{1}{5}$　　C. $x^2-\frac{1}{5}$　　D. $x^2+\frac{1}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知条件：方程 $x-f[g(x)]=0$ 有实数解，意味着存在一个实数 $x_0$，使得 $f[g(x_0)]=x_0$ 成立。
2. 进行代数构造与代换：设 $t_0=g(x_0)$，则 $t_0$ 也是一个实数。此时将 $t_0$ 代入复合函数 $g[f(x)]$ 的自变量位置，即考查 $g[f(t_0)]$。
3. 推导核心方程的解的存在性：由于 $f(t_0)=f[g(x_0)]=x_0$，代入得 $g[f(t_0)]=g(x_0)=t_0$。这表明方程 $g[f(t)]=t$ 必然存在实数解 $t=t_0$。
4. 验证选项排除错误项：将选项中的四个代数式分别记为 $H(x)$，那么方程 $H(x)=x$ 必须在 $\mathbf{R}$ 上有实数解。若某个选项满足 $H(x)=x$ 无实数解（即 $\Delta <0$），则该选项即为“不可能”的表达式。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：由已知条件作代数代换 已知方程 $x-f[g(x)]=0$ 有实数解， 设该方程的一个实数解为 $x=x_0$，则有： $f[g(x_0)]=x_0$

  令 $t_0=g(x_0)$，因为 $g(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，所以 $t_0\in \mathbf{R}$。

• 第二步：推导 $g[f(t)]=t$ 有解的必要性结论 现在将 $t_0$ 代入复合多项式 $g[f(x)]=t$ 的变量中： 由于 $t_0=g(x_0)$，我们计算 $g[f(t_0)]$ 的值： $g[f(t_0)]=g(f[g(x_0)])$ 将已知关系 $f[g(x_0)]=x_0$ 替换掉括号内部的部分，得： $g[f(t_0)]=g(x_0)$ 由定义 $g(x_0)=t_0$，从而得出： $g[f(t_0)]=t_0$

  这一数学事实表明：方程 $g[f(x)]=x$ 在实数范围内必须至少存在一个实数解 $x=t_0$。

• 第三步：将各选项代入方程 $H(x)=x$ 进行有解性检验 设 $g[f(x)]=H(x)$。根据第二步结论，方程 $H(x)=x⟹H(x)-x=0$ 必须存在实数解。

  • 对于 (A) 选项：令 $x^2+x-\frac{1}{5}=x⟹x^2-\frac{1}{5}=0⟹x^2=\frac{1}{5}$，有实数解 $x=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$。
  • 对于 (B) 选项：令 $x^2+x+\frac{1}{5}=x⟹x^2+\frac{1}{5}=0⟹x^2=-\frac{1}{5}$，在实数范围内无解。
  • 对于 (C) 选项：令 $x^2-\frac{1}{5}=x⟹x^2-x-\frac{1}{5}=0$，其判别式 $\Delta =(-1{)}^2-4\times 1\times \left(-\frac{1}{5}\right)=1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}>0$，有实数解。
  • 对于 (D) 选项：令 $x^2+\frac{1}{5}=x⟹x^2-x+\frac{1}{5}=0$，其判别式 $\Delta =(-1{)}^2-4\times 1\times \frac{1}{5}=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}>0$，有实数解。

由于 (B) 选项对应的方程在实数集上没有实数解，这与题干“方程 $x-f[g(x)]=0$ 有实数解”引申出的“ $g[f(x)]=x$ 必有实数解”的必要条件相矛盾。

综合上述， (B) 选项符合题意。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数的映射嵌套、方程有解问题向函数不动点（ $F(x)=x$ ）的转化、一元二次方程根的判别式。
2. 核心方法：变量轮换构造法。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆 $f[g(x)]$ 与 $g[f(x)]$ 的解析式。二者在一般情况下不相等。本题的难点在于通过已知 $f[g(x)]=x$ 有解，逻辑推导出 $g[f(x)]=x$ 也有解。
   • 在代入检验时注意要把选项表达式减去 $x$。如 B 选项 $x^2+x+\frac{1}{5}=x$ 移项后是 $x^2+\frac{1}{5}=0$，极易因粗心漏掉减去右边的 $x$ 导致误判。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考选择题压轴题，设计灵感源于近代数学拓扑学中的拓扑动力系统及不动点定理（Fixed-point theorem）。
2. 结论推广: 若 $f\circ g$ 有不动点 $x$（即 $f(g(x))=x$），则令 $y=g(x)$，有 $g(f(y))=g(x)=y$，故 $g\circ f$ 也有不动点 $y$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 19.09 函数迭代与不动点问题

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-08 单-分段函数
• 2014-江西卷理-03 单-复合函数
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断