2004-浙江理-11 单-导函数的图象与原函数单调性的关系

本题导读

本题考查函数的极值点判定。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 设 $f^{\prime }(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数， $y=f^{\prime }(x)$ 的图象如图所示，则 $y=f(x)$ 的图象最有可能是 ()

A. 选项A图象　　B. 选项B图象　　C. 选项C图象　　D. 选项D图象

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析导函数 $f^{\prime }(x)$ 的零点：由图可知 $f^{\prime }(x)=0$ 的根为 $x=0$ 和 $x=2$。这两点是原函数 $f(x)$ 的可能极值点。
2. 分析导函数 $f^{\prime }(x)$ 的符号分布：
   • 当 $x<0$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，对应原函数 $f(x)$ 单调递增；
   • 当 $0<x<2$ 时， $f^{\prime }(x)<0$，对应原函数 $f(x)$ 单调递减；
   • 当 $x>2$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，对应原函数 $f(x)$ 单调递增。
3. 对照单调性选择图象：寻找满足“先增、再减、再增”且极值点分别在 0 和 2 处的曲线。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据导数符号与函数单调性的本质逻辑关系：

• 当 $f^{\prime }(x)>0$ 时，原函数 $f(x)$ 单调递增，对应图象向右上方倾斜；
• 当 $f^{\prime }(x)<0$ 时，原函数 $f(x)$ 单调递减，对应图象向右下方倾斜。

观察题干中导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的几何图象可知：

• 区间一： $(-\infty ,0)$ 导函数图象位于 $x$ 轴上方，即 $f^{\prime }(x)>0$。 因此，原函数 $f(x)$ 在该区间内单调递增。 由此可排除 (A) 和 (B) 选项（这两项在 $x<0$ 时图象单调递减）。

• 区间二： $(0,2)$ 导函数图象位于 $x$ 轴下方，即 $f^{\prime }(x)<0$。 因此，原函数 $f(x)$ 在该区间内单调递减。 在 $x=0$ 处，导数符号由正变负，表明 $f(0)$ 为原函数的极大值点。

• 区间三： $(2,+\infty )$ 导函数图象重新回到 $x$ 轴上方，即 $f^{\prime }(x)>0$。 因此，原函数 $f(x)$ 在该区间内单调递增。 在 $x=2$ 处，导数符号由负变正，表明 $f(2)$ 为原函数的极小值点。

结合上述推导，原函数 $f(x)$ 的图象整体趋势必须为：先增 $\to$ 再减 $\to$ 再增，且极值点对应的横坐标精确地在 $x=0$（极大值）和 $x=2$（极小值）处。

审视剩余选项：

• (C) 选项：在 $x<0$ 递增， $0<x<2$ 递减， $x>2$ 递增，且 $x=0$ 为极大值点， $x=2$ 为极小值点，完全符合上述所有特征。
• (D) 选项：在 $0<x<2$ 区域内图象是单调递增的，且 $x=2$ 是极大值点，与导数符号冲突。

综合上述， (C) 选项符合题意。

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数符号与函数升降性的对应、极值点的导数符号穿根判定法。
2. 核心方法：单调区间数形结合比对法。
3. 避坑指南：
   • 切勿将导函数的“增减性”与原函数的“增减性”相混淆。部分同学看到导函数在 $(1,2)$ 段是向上递增的，就误认为原函数在这一段也应该递增。必须牢记：决定原函数升降的是导函数的“正负号值（轴上还是轴下）”，而非导函数自身的斜率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考导数概念定性考查的高频题型。
2. 结论推广: 一般地，若 $\mathrm{deg}(f^{\prime }(x))=n$，则原函数 $f(x)$ 是一个 $n+1$ 次的多项式函数。本题中导函数 $f^{\prime }(x)$ 呈现开口向上的抛物线（二次函数）特征，则其原函数 $f(x)$ 必然是一个标准的三次函数。在 $a>0$ 的三次函数标准型 $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 中，其经典形态即为 $\text{N}$ 字形曲线，这也直接印证了 C 选项的正确性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断