2004-浙江理-08 单-充分必要条件的判定

本题导读

本题考查充分必要条件的判定，以及正弦函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 在 $△ABC$ 中，“$A>30^{\circ }$”是“$\sin A>\frac{1}{2}$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确大前提：在 $△ABC$ 中，内角 $A$ 的取值范围被严格限制在 $(0^{\circ },180^{\circ })$ 内。
2. 分析条件 $p$ 的解集 $P$：条件 $p$ 为 $A>30^{\circ }$，结合大前提，其对应的角度集合为 $P=\{A\mid 30^{\circ }<A<180^{\circ }\}$。
3. 分析条件 $q$ 的解集 $Q$：条件 $q$ 为 $\sin A>\frac{1}{2}$。利用正弦函数在 $(0^{\circ },180^{\circ })$ 上的图象，找出满足条件的角度集合 $Q=\{A\mid 30^{\circ }<A<150^{\circ }\}$。
4. 逻辑包含判定：比较集合 $P$ 与 $Q$ 的大小与包含关系。若 $P\subseteq Q$，则充分；若 $Q\subseteq P$，则必要。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 在 $△ABC$ 中，内角 $A$ 的取值范围是 $(0^{\circ },180^{\circ })$。 设命题 $p:A>30^{\circ }$，命题 $q:\sin A>\frac{1}{2}$。

• 第一步：考查充分性（即由 $p⟹q$ 是否成立） 已知 $A>30^{\circ }$，则 $A$ 可以取 $160^{\circ }$（因为 $30^{\circ }<160^{\circ }<180^{\circ }$，满足三角形内角要求）。 当 $A=160^{\circ }$ 时： $\sin 160^{\circ }=\sin (180^{\circ }-20^{\circ })=\sin 20^{\circ }$ 因为 $20^{\circ }<30^{\circ }$，且正弦函数在 $(0^{\circ },90^{\circ })$ 递增，所以 $\sin 20^{\circ }<\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$。 也就是说，当 $A=160^{\circ }$ 时，“$\sin A>\frac{1}{2}$”不成立。 从而，由 $p⟹q$ 为假，不满足充分性。

• 第二步：考查必要性（即由 $q⟹p$ 是否成立） 在 $A\in (0^{\circ },180^{\circ })$ 的大前提下，求解三角不等式 $\sin A>\frac{1}{2}$。 由正弦曲线性质可知，满足该不等式的角 $A$ 的取值范围严格为： $30^{\circ }<A<150^{\circ }$ 显而易见，只要 $30^{\circ }<A<150^{\circ }$ 成立，就必然能推出 $A>30^{\circ }$ 成立。 从而，由 $q⟹p$ 为真，满足必要性。

综上所述，“$A>30^{\circ }$”是“$\sin A>\frac{1}{2}$”的必要而不充分条件。

综合上述， (B) 选项符合题意。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分必要条件逻辑方向判断、三角形内角限制下的三角不等式求解。
2. 核心方法：集合包含法、特值反例法。
3. 避坑指南：
   • 不要忽视第二象限钝角对正弦值范围的影响。部分同学习惯性地认为 $\sin A>\frac{1}{2}⟹A>30^{\circ }$，且 $A>30^{\circ }⟹\sin A>\frac{1}{2}$，从而错选为 C（充要条件）。他们忽略了当 $A$ 为钝角（如 $150^{\circ }<A<180^{\circ }$）时，虽然满足 $A>30^{\circ }$，但正弦值已经回落到 $\frac{1}{2}$ 以下。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考简易逻辑用语与三角函数性质融合的传统常考选择题。
2. 结论推广: 设小命题对应的解集为 $P$，大命题对应的解集为 $Q$。则“$P$ 是 $Q$ 的什么条件”等价于数学集论的包含判定：① 若 $P⫋Q$，则为充分不必要；② 若 $Q⫋P$，则为必要不充分；③ 若 $P=Q$，则为充要。本题中 $Q=(30^{\circ },150^{\circ })⫋P=(30^{\circ },180^{\circ })$，故属于情况②。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2020-北京卷-09 单-三角方程
• 1985-上海文-15 单-充分必要条件
• 1985-上海理-04 填-正弦函数的最小正周期