2004-浙江理-06 单-共轭复数

本题导读

本题考查共轭复数的概念，以及复数的乘法运算。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 已知复数 $z_1=3+4\mathrm{i}$， $z_2=t+\mathrm{i}$，且 $z_1\cdot \overline{z_2}$ 是实数，则实数 $t=$ ()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　B. $\frac{4}{3}$　　　　　　C. $-\frac{4}{3}$　　　　　　D. $-\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求共轭复数 $\overline{z_2}$：根据共轭复数的定义，将 $z_2=t+\mathrm{i}$ 的虚部符号取反，得到 $\overline{z_2}=t-\mathrm{i}$。
2. 复数乘法展开：将 $z_1$ 与 $\overline{z_2}$ 相乘，利用 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 展开并整理成实部与虚部相分离的标准代数形式。
3. 利用实数条件列方程：由于结果是实数，说明其虚部必须严格等于 0，据此列出一元一次方程求解 $t$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：确定共轭复数 $\overline{z_2}$ 已知复数 $z_2=t+\mathrm{i}$（其中 $t\in \mathbf{R}$）， 根据共轭复数的定义（实部相同，虚部互为相反数），可得其共轭复数为： $\overline{z_2}=t-\mathrm{i}$

• 第二步：计算复数乘积 $z_1\cdot \overline{z_2}$ 将 $z_1=3+4\mathrm{i}$ 与 $\overline{z_2}=t-\mathrm{i}$ 代入乘积式，进行多项式展开： $z_1\cdot \overline{z_2}=(3+4\mathrm{i})(t-\mathrm{i})$ $z_1\cdot \overline{z_2}=3t-3\mathrm{i}+4t\mathrm{i}-4{\mathrm{i}}^2$ 将 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 代入上式中： $z_1\cdot \overline{z_2}=3t-3\mathrm{i}+4t\mathrm{i}-4(-1)$ $z_1\cdot \overline{z_2}=3t-3\mathrm{i}+4t\mathrm{i}+4$ 将实部与虚部分别合并同类项，整理成标准形式： $z_1\cdot \overline{z_2}=(3t+4)+(4t-3)\mathrm{i}$

• 第三步：利用实数条件求解 $t$ 因为 $z_1\cdot \overline{z_2}$ 是实数，根据复数分类的充要条件，该复数的虚部必须等于 0： $4t-3=0$ 解此一元一次方程得： $4t=3⟹t=\frac{3}{4}$

综合上述， (A) 选项符合题意。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数虚部变号、复数乘积代数运算、实数对应虚部为 0。
2. 核心方法：复数标准代数化法。
3. 避坑指南：
   • 切勿混淆共轭复数与原复数的符号关系。 $\overline{z_2}$ 的虚部是 $-\mathrm{i}$。如果错误地直接把 $z_2=t+\mathrm{i}$ 代入去算 $z_1\cdot z_2=(3+4\mathrm{i})(t+\mathrm{i})=(3t-4)+(4t+3)\mathrm{i}$，令虚部为 0 会算得 $t=-\frac{3}{4}$，从而误选 D 选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高考复数基础概念与四则运算选择题。
2. 结论推广: 一般地，设复数 $z_1=a+bi$ ， $z_2=c+di(a,b,c,d\in \mathbf{R})$。其乘积 $z_1\cdot \overline{z_2}=(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i$。若该乘积为实数，则虚部 $bc-ad=0⟹\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（当分母不为0时），即两个复数在复平面上对应的向量共线。直接代入本题参数： $\frac{3}{4}=\frac{t}{1}⟹t=\frac{3}{4}$，可实现无变形口算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 1986-全国文-12 填-复数的运算
• 1987-广东文-26 填-复数的共轭